Egy szabályos dobókockával hatszor dobtunk. A dobott számok monoton növekvő sorrendben: 1, 2, 2, 3, 3, 3.
a) Határozza meg a dobott számok átlagát és szórását!
b) Hány olyan különböző dobássorozat van, amely egy darab 1-esből, két darab 2-esből és három darab 3-asból áll?
Egy szabályos dobókockával kétszer dobunk.
c) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a két dobott szám szorzata 2-vel osztható lesz, de 4-gyel nem!

Egy kék és egy zöld dobókockával dobunk, a dobás kimenetele egy számpár. Jelölje (k, z) a dobásnak azt a kimenetelét, amikor a kék kockával dobott szám k, a zöld kockával dobott szám pedig z. Legyen a H alaphalmaz a dobás kimeneteleként megkapható összes lehetséges (k, z) számpár halmaza. Az $ A $, $ B $ és $ C $ részhalmazokat a következőképpen definiáljuk:
$ A $ = {(k, z)│a k + z összeg prím}
$ B $ = {(k, z)│a k $ \cdot $  z szorzat prím}
$ C $ = {(k, z)│k = z}

d) Satírozással jelölje a Venn-diagramon a H-nak azt a részhalmazát, amelyik üres halmaz! A Venn-diagram minden egyes további tartományába írjon egy-egy megfelelő számpárt! Válaszát itt nem kell indokolnia.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ OAB $ egyenlőszárú háromszög $ OA $ és $ OB $ szárai $ 12 $ cm hosszúak, $ AOB $ szöge $ 75^\circ $. Az $ OA $ szakasz $ C $ pontját és az $ OB $ szakasz $ D $ pontját (az ábra szerint) egy $ O $ középpontú, 8$ $cm sugarú körív köti össze.

a) Határozza meg a szürkére színezett tartomány területét és kerületét!
Az OAB háromszöget megforgatjuk az OA oldal egyenese körül. 
b) Határozza meg az így keletkező forgástest térfogatát!

Az ábrán látható négy tartományt piros, kék és zöld színnel színezzük ki úgy, hogy egy tartományhoz egy színt használunk.

c) Hányféleképpen színezhetjük ki a négy tartományt, ha szomszédos tartományok nem lehetnek azonos színűek? (Két tartomány szomszédos, ha van közös határvonaluk. A színezéshez nem szükséges mindhárom színt felhasználni.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Alízék osztálytermében az egyik fal mellett három sorban 12-12, összesen 36 szekrény található a diákok számára, 1-től 36-ig megszámozva. Az osztályba 33-an járnak. Tanév elején minden diák – sorsolás útján – egy-egy szekrényt kap. Három szekrény így a sorsolás után üresen marad.

a) Legyen az A esemény az, hogy a három üresen maradó szekrény egy sorban található, a B esemény pedig az, hogy a három üresen maradó szekrény három különböző sorban található. Melyik eseménynek nagyobb a valószínűsége?
A szekrények téglatest alakúak. Egy-egy szekrény belseje 20 cm széles, 35 cm magas és 30 cm mély.
b) Határozza meg a leghosszabb egyenes pálca hosszát, ami elhelyezhető a szekrényben! (A pálca vastagságától eltekinthetünk.)
Alíz, Boglárka, Csenge és Dorka szekrénykulcsai összekeveredtek, és a négy lány véletlenszerűen osztja el egymás közt a négy kulcsot.
c) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy legalább két lány a saját kulcsát kapja vissza!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy növényfaj ezer darab magjának tömegét grammban megadva kapjuk az úgynevezett ezermagtömeget. Egy bizonyos fajta zab ezermagtömege 35 gramm.
a) Kb. hány darab magot tartalmaz egy tonna zabmag ebből a fajtából? Válaszát normálalakban adja meg!
Jancsi nyári diákmunkaként zabhegyezést vállalt Kukutyinban. Tudja, hogy ha a zabhegyező gépbe $ k $ kg zabot helyez, akkor a gép $ \dfrac{k^2}{40}+90 $ perc alatt végez a zabhegyezéssel. Jancsinak összesen 1000 kg zabot kell kihegyeznie a gép segítségével. Elhatározza, hogy a zabot egyenlő részekre osztva fogja kihegyezni.
b) Hány óra alatt végez Jancsi a zabhegyezéssel, ha 8 egyenlő részre osztja az 1000 kg zabot?
c) Az 1000 kg zabot $ n $ egyenlő részre osztjuk ( $ n \in \mathbb{Z}^+ $). Határozza meg $ n$ $értékét úgy, hogy az 1000 kg zab kihegyezésének ideje minimális legyen! Hány óra ez a minimális idő?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy mértani sorozat $ n $-edik tagja $ a_n = 2\cdot \left(- \dfrac{1}{2}\right)^n ;\ \left( n\in\mathbb{Z}^+ \right) $
a) Határozza meg azt a legkisebb $ n $ értéket, amelyre $ |a_n| < 10^{-7} $ teljesül!
b) Határozza meg a mértani sorozat első 10 tagjának összegét! Válaszát $- \dfrac{k}{n} $ alakban adja meg, ahol $ k $ és $ m $ relatív prímek!
A $ \{b_n\} $ sorozat $ n $-edik tagja $ b_n = 2\cdot \left(- \dfrac{1}{2}\right)^n+2\ ;\ \left( n\in\mathbb{Z}^+ \right)$.
c) Igazolja, hogy (minden pozitív egész $ n $-re) $ 2b_{n+2}-b_{n+1}-b_{n}=0 $.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba