Egy áruházban egy mosóport négyféle kiszerelésben árusítanak. Az első kiszerelés $50\mathrm{\%}$-kal drágább a harmadiknál, és $20\mathrm{\%}$-kal kevesebb mosópor van benne, mint a másodikban. A második $50\mathrm{\%}$-kal több mosóport tartalmaz, mint a harmadik, és $25\mathrm{\%}$-kal többe kerül, mint az első.

a) Az első három kiszerelés közül melyikben a legalacsonyabb a mosópor egységára?

A negyedik fajta kiszerelést úgy állították össze, hogy annak dobozán a feltüntetett egységár megegyezett az első három kiszerelés átlagos egységárával.

b) Ha a legolcsóbb kiszerelésű dobozon 600 Ft egységárat tüntettek fel, akkor hány forint egységár szerepel a negyedik fajta dobozon?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen $f(x)=-{\displaystyle \frac{4x^3}{a}}+{\displaystyle \frac{3x^2}{a}}+{\displaystyle \frac{2x}{a}}-a$, ahol $a$ pozitív valós szám és $x\in \mathbb{R}$.

a) Igazolja, hogy $\underset{0}{\overset{a}{\int }}f(x)dx==-a^3+a$.

b) Mely pozitív valós $a$ számokra teljesül, hogy $\underset{0}{\overset{a}{\int }}f(x)dx\ge 0$

c) Az $x$ mely pozitív valós értéke esetén lesz a $g(x)=-x^3+x$ függvénynek lokális (helyi) maximuma?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ABCD$ konvex négyszög oldalegyeneseinek egyenlete rendre:

$DA:3x-4y-20=0$ , $AB:3x+5y-20=0$ , $BC:4x-3y+12=0$, $CD:5x+3y+15=0$ .

a) Igazolja, hogy a négyszög átlói az $x$ és az $y$ tengelyre illeszkednek, továbbá hogy ennek a négyszögnek nincsen derékszöge!

b) Bizonyítsa be, hogy ez a négyszög húrnégyszög!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

a) Peti levelet írt négy barátjának, Andrásnak, Bélának, Csabának és Daninak, és mindenkinek 1-1 fényképet is akart küldeni a nyaralásról. A négy fénykép különböző volt, és Peti mindegyikük hátlapjára ráírta, kinek szánja. A fényképeket végül figyelmetlenül rakta borítékba, bár mindenki kapott a levelében egy fényképet is.

a1) Hányféleképpen fordulhat elő, hogy csak Andris kapja azt a fényképet, amelyen a saját neve szerepel?

a2) Melyik esemény bekövetkezésének nagyobb a valószínűsége:

- senki sem kapja azt a fényképet, amelyet Peti neki szánt;

vagy

- pontosan egyikük kap olyan fényképet, amelyen a saját neve szerepel?

b) Egy szabályos érme egyik oldalán a 6-os, a másikon pedig a 4-es számjegy látható. Az érmét négyszer egymás után feldobjuk, és a dobott számokat összeadjuk. Milyen értékeket kaphatunk összeg gyanánt? Az egyes összegek dobásának mekkora a valószínűsége?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy $90m^2$ területű, trapéz alakú virágágyás párhuzamos oldalainak aránya $AB:DC=3:2$ . Az ágyást tavasszal és ősszel is az évszaknak megfelelő virágokkal ültetik be. Mindkét alkalommal mindegyik fajta virágból átlagosan 50 virágtövet ültetnek négyzetméterenként. Tavasszal az átlókkal kijelölt négy háromszögre bontották a virágágyást. Az $ABM$ háromszögbe sárga virágokat, a $DMC$ háromszögbe fehéret, a maradék két részbe piros virágokat ültettek.

a) A tavaszi parkosításkor hány darab fehér, hány piros és hány sárga virágot ültettek be?

Ősszel a másik ábra alapján tervezték meg a virágok elhelyezését. (Az E, F, G és H pontok a trapéz oldalainak felezőpontjai.) Ekkor is fehér (f), piros (p) és sárga (s) virágokat ültettek a tervrajz alapján.

b) Az őszi parkosításkor hány darab fehér, hány piros és hány sárga virágot ültettek? Válaszait az alábbi táblázatban tüntesse fel!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba