Balázs és a kisöccse is pont annyi idős lesz 2025-ben, mint születési évében a számjegyek összege. Hány éves lesz Balázs 2025-ben?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Tekintsük kétjegyű számoknak egy olyan halmazát, melynek bármnely két eleme relatı́v prı́m, és teljesül az is, hogy ha egy szám eleme a halmaznak, akkor a számjegyek felcserélésével kapott szám szintén eleme a halmaznak. Mennyi az elemszáma a halmaznak, ha az a lehető legtöbb?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az ABC háromszög BC oldalának D olyan pontja, mely esetén a DAB szög a CAB szög harmada. Az ADC háromszög beı́rt körének középpontja egybeesik az ABC háromszög körülı́rt körének középpontjával. Hány fok az ABC háromszög legkisebb szöge?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy kocka minden csúcsában ül egy-egy hangya. Egy adott pillanatban mindegyikük elindul egy véletlenszerűen kiválasztott élen, és átmászik rajta a szomszédos csúcsba. Mennyi annak a valószı́nűsége, hogy két hangya találkozik útközben vagy az út végén? A válasz a tört legegyszerűbb alakjának számlálója!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Van két, nem feltétlenül azonos méretű játékkockánk, melyek éleinek hossza egész szám. Egymásra tesszük ezeket úgy, hogy a felül levő kocka teljes lapjával érintkezzék az alul levő kocka egyik lapjával. Az ı́gy kapott test térfogatának mérőszáma megegyezik a felszı́nének a mérőszámával. Mekkora az eredeti két kocka éleinek összhossza?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Petinek van néhány épı́tőeleme, mindegyik elem néhány 1×1-es négyzetlapból áll, melyeket oldalaiknál összeragasztottak. Legyen $ S \subseteq \left\{ 1, 2, 3, ..., 7 \right\} $ az a halmaz, melyre $ n \le 7 $ esetén Peti akkor és csak akkor tud letapétázni egy 4 × n-es táblát néhány épı́tőelemmel, ha $ n \in\  S $. Hányféle lehet az $ S $ halmaz? ($ S $ lehet üres is.) (Egy tapétázás szabályos, ha minden négyzet pontosan egy épı́tőelemmel van lefedve és az épı́tőelemek nem lógnak le a tábláról.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

M.4.feladat
Sziszüphosz már az idők kezdete óta a követetkező büntetésre ı́téltetett: a világ $ n. $ percében ki kell számolnia, hogy mennyi $ 1! + 2! + · · · + n! $ és az eredményt leı́rni a füzetébe. Tegnap János megleste, milyen számot ı́rt éppen Sziszüphosz. Mi volt a szám utolsó négy számjegye, ha Sziszüphosz $ 4 $-es számrendszerben számol és jegyzetel?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen $ a_1 = 1 $ és a sorozat további elemeit a következő szabály szerint kapjuk: ha $ a_n < 100 $, akkor legyen $ a_{n+1} = 2 \cdot a_n + 8 $, mı́g $ a_n \ge  100 $ esetén legyen $ a_{n+1} = a_n - 80 $. Mi lesz a sorozatban szereplő legnagyobb szám?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A Minótaurusz visszatér. A labirintus a négyzetrácson egy 23 × 23 rácsnégyzetből álló négyzet, melynek oldalsó falai a négyzet kerületének összes rácsponttól rácspontig terjedő szakaszából áll. Ezen kı́vül a téglalapon belül szintén van néhány rácsponttól rácspontig terjedő szakasz méghozzá úgy, hogy a téglalap bármely egységnégyzetéből bármelyik másikba pontosan egyféleképpen lehet eljutni, leszámı́tva azokat az utakat, amelyek valamelyik egységnégyzeten többször is áthaladnak. A Minótaurusz most valamelyik egységnégyzetbe áll. Egy lépésben átléphet egy szomszédos négyzetbe, ha a két négyzet között nincsen fal. (Két négyzet szomszédos, ha van közös oldaluk.) Legalább hány lépésre van szüksége, hogy minden egységnégyzetbe eljusson egyszer, függetlenül a labirintus alakjától és attól, hogy honnan indul? (A Minótaurusz minden esetben ismeri, hogy hogyan néz ki a labirintusa.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Regő a retardált és Tomi a tehetséges sokszögeket illesztettek össze az oldalaik mentén úgy, hogy mindketten egy-egy nagyobb sokszöget kaptak. Hánnyal több oldala van Regő végső sokszögének, mint Tomi végső sokszögének, ha mindketten egy háromszöget, egy négyszöget, egy nyolcszöget, egy tizenhat szöget, egy harminckét szöget, egy hatvannégy szöget és egy százhuszonnyolc szöget illesztettek össze és Regő végső sokszögének a lehető legtöbb oldala van, mı́g Tomiénak a lehető legkevesebb? (Szabadon választhattak az épı́tkezéshez tetszőleges adott oldalú sokszögeket.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Marci gondolt 4 pozitı́v egész számra, a, b, c, d-re. Beni felı́rt a táblára 4-et az [a, b], [a, c], [a, d], [b, c], [b, d] és [c, d] értékek közül, ezek a következők: 84, 196, 588 és 1260. Mennyi [a, b, c, d] értéke? (A [a, b] jelölés az a és b számok legkisebb közös többszörösét jelöli.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A Minótaurusz szeretne kicsit rendet rakni a labirintusában. A labirintus a négyzetrácson egy a×b rácsnégyzetből álló téglalap, melynek oldalsó falai a rácstéglalap kerületének összes rácsponttól rácspontig terjedő szakaszából áll. Ezen kı́vül a téglalapon belül szintén van néhány rácsponttól rácspontig terjedő szakasz méghozzá úgy, hogy a téglalap bármely egységnégyzetéből bármelyik másikba pontosan egyféleképpen lehet eljutni, leszámı́tva azokat az utakat, amelyek valamelyik egységnégyzeten többször is áthaladnak. A Minótaurusz először lefestette az összes belülről elérhető egységnyi falfelületet, ebből összesen 1006 darab volt. Most fel szeretné seperni a labirintus minden egységnégyzetét. Hány négyzetet kell felsepernie?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy 4 × 5-es táblázatot a +1 és −1 számokkal töltünk ki úgy, hogy minden sorban és minden oszlopban a beı́rt számok szorzata 1. Hányféle kitöltés lehetséges?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen $ f (x) $ és $ g(x) $ két különböző másodfokú polinom, amelyek főegyüthatója $ 1 $ és

$ f (0) + f (1) + . . . f (2023) + f (2024) = g(0) + g(1) + · · · + g(2023) + g(2024) $

Mennyi $ x $, ha $ f (x) = g(x) $?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba