Oldjuk meg a valós számok halmazán az

$ x^2-yz=|y-z|+1 \\ y^2-zx=|z-x|+1 \\ z^2-xy=|x-y|+1 $

egyenletrendszert.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy 10 × 10-es tábla minden mezőjébe beírtuk az 1, 2, . . ., 10 számok valamelyikét úgy, hogy bármely két közös éllel vagy csúccsal rendelkező mezőbe írt szám relatív prím egymással. Bizonyítsuk be, hogy van olyan szám, amelyet legalább 17-szer írtunk le!
 

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adott egy $ ABCD $ rombusz és a beírt köre. A $ PQ $ szakaszt úgy vesszük fel, hogy $ P $ az $ AB $ oldal, $ Q $ pedig az $ AD $ oldal egy-egy belső pontja legyen, és $ PQ $ érintse a rombusz beírt körét. Bizonyítsuk be, hogy $ CPQ $ háromszög területe nem függ $ PQ $ helyzetétől, vagyis bármely, a feltételeknek megfelelő $ PQ $ választása esetén ugyanakkora (állandó).

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba