Az S8Q-bolygón n különböző ország osztozik (50 < n < 80). Bármely két különböző ország között vagy baráti, vagy ellenséges a kapcsolat (harmadik eset nincs, és a kapcsolat kölcsönös) a következ˝o két szabály mellett:

Ha A, B, C három különböző ország, és

(1) A barátságos B-vel, valamint B barátságos C-vel, akkor A is barátságos C-vel. (barátom barátja a barátom)

(2) A ellenséges B-vel, és B is ellenséges C-vel, akkor A barátságos C-vel. (ellenségem ellensége a barátom )

Valamint tudjuk, hogy az n ország között lévő összes lehetséges viszonynak éppen a fele baráti, a másik fele ellenséges. Hány ország van az S8Q-bolygón?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy háromszög oldalainak mérőszámai egész számok. A háromszögbe írt kör r, és a hozzáírt körök r₁, r₂, r₃ sugarainak mérőszámai páros egész számok. Tudjuk még, hogy,

$r \cdot r_1 \cdot r_2 + r \cdot r_2 \cdot r_3 + r \cdot r_3 \cdot r_1 + r_1 \cdot r_2 \cdot r_3 = r \cdot r_1 \cdot r_2 \cdot r_3 $

Bizonyítsuk be, hogy a háromszög derékszögű!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy n pozitív egész szám 17-edíziglen izgalmas, ha a következő feltételek teljesülnek rá:

(1) nincs (az 1-en kívül) négyzetszám osztója;

(2) pontosan 16 pozitív osztója van;

(3) ha nagyság szerint sorba rendezem a 16 darab pozitív osztót, akkor a 10-dik, és a 7-dik osztó különbsége éppen 17.

Kérdés: Hány 17-edíziglen izgalmas szám van?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba