Santo Domingo egyik kocsmájában kilenc matróz felírta a falra, hogy hány napja nem jártak Európában. A következo számok kerültek a falra: 256, 384, 448, 480, 496, 504, 508, 510 és 511. Melyik az a legnagyobb pozitív egész szám, amely nem állítható elő a falon szereplő számok összegeként? (Többször is felhasználhatjuk ugyanazt a számot az összeg képzésénél.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Matekland sütődéjében messze földön híres mandulás sütemények készülnek. Egy kerekes puszedli elkészítése három fázisban történik: az első kemencében 6 percig sül, a másodikban 12 percig, végül a harmadikban18 percig. A puszedlis kerék először az első kemencében sül 18 percig, azután a másodikban 12 percig, végül a harmadikban 6 percig. A kemencék minden nap leállnak valamennyi idôre: az első legalább 2 órára, a második legalább 5 órára, a harmadik pedig legalább 1 órára. Hányféleképpen lehet megadni a nemnegatív egészekből álló ( kp , pk ) számpárt úgy, hogy egyetlen nap alatt meg lehessen sütni kp darab kerekes puszedit és pk darab puszedlis kereket?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy n tagú választó testület három jelölt közül választ. Mindegyikük rangsorolja őket, az elsőnek 3, a másodiknak 2, a harmadiknak pedig 1 pontot ad. Összesítve a jelöltek pontszámát kiderült, hogy a sorrend egyértelmü, hármuk pontszáma különböző. A testület egyik tagja észrevette, hogy ha a választást úgy bonyolították volna le, hogy mindannyian csak az elsőként rangsorolt jelöltjüknek adtak volna 1 pontot, akkor a jelöltek sorrendje megfordulna. Mi az a legkisebb n érték, amelyre ez  előfordulhat?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Aha, ha hézagos műveltségem nem hagy cserben, akkor ez a bucka Nyuszi lakását jelenti, Nyuszi pedig Jó Társaságot és valami harapnivalót. De mit keres itt a bucka előtt ez a kocka? És hány olyan sík van a térben, amelyik áthalad a kocka élei közül legalább három felezőpontján?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az InterMouse-nál bizony össze kell húzni a nadrágszíjat. Legfeljebb annyi függvénytáblára van keret, amennyi a 11x + 9y legkisebb pozitív értéke, ha x² − y² = 10. Mennyi ez az érték?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Malacka szobáját egy színes négyzet díszíti. A négyzet kerületének minden pontját kiszínezték úgy, hogy nincs olyan derékszögű háromszög, melynek minden csúcsa a négyzet határán lenne és csúcsai ugyanolyan színűek. Legalább hány szín kellett a színezéshez?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az 1,2,3, ..., 8 számokat véletlenszerűen párokba rendeztük. A számegyenesen összekötjük a párok tagjait, így 4 szakaszt kapunk. Mennyi a valószínűsége, hogy ezek közt lesz olyan, ami az összes többit metszi? Adjuk meg a kapott valószínűség  $ 2310$  -szeresének egész részét!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A városi krónikák följegyezték, hogy a költségvetés hiánya évről évre az alábbi különös törvényszerűség szerint alakul: ha az alapítástól számított n-edik évben f(n) jelöli a hiányt, akkor f(1) = 1 és minden pozitív egészre f(2n) = 2f(n)+1. Mennyi a hiány az alapítástól számított 1024-edik évben?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Plajbász szökőkutat is szeretne a bevásárlóközpontban. A szökőkút alapja egy 4500 cm² területû egyenlő szárú háromszög alakú medence. Ami a vízsugár elhelyezését illeti, a kockafejűek és a víz különös viszonyára való tekintettel Plajbász óvatosan fog a dologhoz: a háromszög tetszőleges belső P pontjára elkészíti a P tükörképét a három oldalra, majd tekinti az így kapott háromszög S súlypontját, mint a vízsugár egy lehetséges pozícióját. Mekkora annak a síkidomnak a területe, amelyet az így adódó S pontok alkotnak, miközben P befutja a háromszög belsejét?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy konvex  $ 24$  -szög csúcsai közül hányféleképpen lehet kiválasztani négyet úgy, hogy az általuk meghatározott konvex négyszög oldalai a  $ 24$  -szög {\em átlói} legyenek?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A dzsungelben tévelyegve Lusta Dick egy 33 × 24 méteres téglalapon kötött ki, amelynek két átellenes csúcsán keresztül ősi maya szokás szerint meghúztak két párhuzamos egyenest, amelyek a téglalap hosszabbik oldalait metszik és a távolságuk 60 cm. Mekkora annak a parallelogrammának a területe, amelyet ez a két egyenes metsz ki a téglalapból?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az iskolába vezető egyenes úton Pinokkió öt helyen is megállt nézelődni, ezeket a menetirány szerint A, B, C, D és E jelöli. Ha AC:BE = 13:19, AD:CE = 2, BD:AE = 2:3, akkor mennyi AE:CD?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A  $ 0$  -tól  $ 8$  -ig számozott dominókból Annának teljes készlete van. (A készletben vannak az üres-üres,  $ 1-1,\ldots , 8-8$  darabok is, és minden fajtából csak egyetlen darab van.) Anna találomra kiválaszt egy dominót, majd a maradékok közül Béla véletlenszerűen húz kettőt. Jelölje  $p/q$  annak a valószínűségét, hogy Béla dominói párosíthatók. (  $p, q$  pozitív egész számok és relatív prímek.) Mennyi  $p+q$  értéke?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Füles azt gondolta: "Miért?" –és néha azt gondolta: "Minekutánna"; és néha azt gondolta: "Amennyiben." Vagy: "Minekutánna tehát." És néha nem is tudta, hogy mire gondol. Így hát őszintén megörült, amikor meglátta Micimackót, aki megkérdezte tőle: melyik a legnagyobb N, amelyre az {1,2,...,N} halmaz elemei között ugyanannyi 3-mal osztható van, mint 5-tel vagy 7-tel osztható?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az Atlanti-óceán időjárásának előrejelzéséhez Kolumbusz megkereste a legkisebb fokú egész együtthatós primitív polinomot, amelynek $ \cos 18^\circ $ gyöke. A válasz ezen polinom együtthatóinak abszolútértékeinek összege. Egy egész együtthatós polinom primitív, ha együtthatóinak legnagyobb közös osztója 1.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A  $P$  pont az  $ABCD$  négyzet síkjának egy olyan pontja, melyre teljesül, hogy a \linebreak  $PAB, PBC, PCD, PDA$  háromszögek mindegyike egyenlő szárú háromszög. Hány ilyen  $P$  pont van? (Nem számoljuk az elfajuló háromszögeket, melyeknek van  $ 0^{\circ}$  -os szöge.)
\emph{Ha a kapott szám  $n$  , a válasz  $\dfrac{n}{14}$  törtrésze tízezerszeresének egészrésze.}

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A Ratracer 2000 információs szolgálata nem bírta a gyűrődést: a legválságosabb pillanatban elkezdte egyesével kiírni a pozitív egészeket: 1,2,3,.... Melyik szám kiírása közben jelent meg a kijelzőn a 2010-edik 9-es számjegy?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A Gauss-eliminációval sikeresen eltávolított paca alól újabb feladat bukkant elô: "Egy n-edfokú ($n\ge0$) $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0$ polinom súlyának az $s=n+|a_0|+|a_1|+\ldots+|a_n|$ számot nevezzük. Hány olyan egész együtthatós polinom adható meg, amelynek a súlya 3"?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Döbrögi uraság és az érzékeny lelkű magister játszanak. A csipegető ludak közül tekerik ki felváltva néhánynak a nyakát: legalább egynek, de legfeljebb ötnek; ezen kívül a soron következő játékos nem ismételheti meg ellenfele előző lépését. A játékban az veszít, aki nem tud a szabályok szerint lépni. Már csak 41 lúd lézeng a táblán, Döbrögi jön lépésre és öt szárnyast tesz hidegre. Hányat nyuvasszon meg a megmaradók közül a Ludimagister, hogy biztosan megnyerhesse a játékot?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Aladár, Béla és Cili játszanak. Aladárnak  $ 15$  , Bélának  $ 17$  , Cilinek  $ 20$  dollárja van. Egy menetben véletlenszerűen kiválasztanak két olyan játékost, akinek még van pénze és azok egymással játszanak.  $ 50-50\%$  , hogy egyikük illetve másikuk nyer. A vesztes  $ 1$  dollárt ad a győztesnek. Akinek elfogy a pénze, ez kiesik. Addig tart a játék, amíg egyikük elnyeri az összes pénzt. Átlagosan hány menetből áll a játék?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A Kiváncsi Légy karosszériája egy hatcsúcsú test. Egy ABCDEFGH téglatestből kell kialakítani, amelynek élei: AB = 6, AD = 8, AE = 12. A test csúcsai közül kettő az ABCD lap AC átlójának a két végpontja, a további négy pedig az EFGH lap egy-egy élének a felezőpontja. Mekkora a Kíváncsi Légy térfogata?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Számold ki:

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Tokió felé propellerezve Grabowksi azon töprengett a palackban, mennyi a

$\sin \left(\dfrac{\pi}{3}\left(x-\sqrt{x^2-3x-12}\right)\right)=0$

egyenlet egész megodásainak a négyzetösszege. Mennyi?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Számítsd ki a pontos értékét!

$(1+4\sin^210^\circ)(1+4\sin^230^\circ)(1+4\sin^250^\circ)(1+4\sin^270^\circ)$

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adjuk meg  $\lfloor 100xy\rfloor$  értékét, ha  $x$  és  $y$  olyan racionális számok, amelyekre

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A nagyhírű Serpenyős gimnázium egyik matadorának kidőlt a tintásüvege és a dolgozatban kapott másodfokú egyenletből csak x² + ...+12 = 0 maradt. Mintha az elsőfokú tag együtthatója egész szám lett volna és valami - vagy valaki - azt súgta neki, hogy a gyökök is egészek. Ha tényleg ez a helyzet, akkor hány másodfokú egyenletet kell végignéznie?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Két egymást követő naptári év során legfeljebb hányszor eshet egy hónap tizenharmadik napja péntekre?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az  $ABC$  háromszögben  $A_1$  és  $B_1$  a  $BC$  illetve  $AC$  oldalak belső pontjai.  $AA_1$  és  $BB_1$  metszéspontja  $M$  . Az  $AMB_1$  ,  $AMB$  és  $BMA_1$  háromszögek területe rendre 3, 7 és 7 egység. Mennyi a  $CB_1MA_1$  négyszög területe?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy  $d = \sqrt{1001} + \sqrt{999}$  átmérőjű  $k$  körbe két kört írunk, amelyek kívülről érintik egymást és mindketten érintik a  $k$  kört is. A három kör középpontja egy egyenesre esik. A két beírt kör közös belső érintőjének a  $k$  belsejébe eső szakasza  $\sqrt{2000}$  hosszúságú. A két beírt kör összesen  $\pi\cdot A$  területű részét nem fedi le a k körnek. Mennyi az  $A$  értéke?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Gepetto egy téglatest alakú fatuskóból készül kifaragni Pinokkiót. A téglatest felszíne 492 cm², éleinek összhossza 496 cm. Milyen hosszú a testátlója?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba