


1. találat: Kavics Kupa 2019 16. feladat Témakör: *Algebra (Azonosító: kk_2019_16f ) Santo Domingo egyik kocsmájában kilenc matróz felírta a falra, hogy hány napja nem jártak Európában. A következo számok kerültek a falra: 256, 384, 448, 480, 496, 504, 508, 510 és 511. Melyik az a legnagyobb pozitív egész szám, amely nem állítható elő a falon szereplő számok összegeként? (Többször is felhasználhatjuk ugyanazt a számot az összeg képzésénél.) Témakör: *Algebra (egyenlet) (Azonosító: kk_2005_17f ) Matekland sütődéjében messze földön híres mandulás sütemények készülnek. Egy kerekes puszedli elkészítése három fázisban történik: az első kemencében 6 percig sül, a másodikban 12 percig, végül a harmadikban18 percig. A puszedlis kerék először az első kemencében sül 18 percig, azután a másodikban 12 percig, végül a harmadikban 6 percig. A kemencék minden nap leállnak valamennyi idôre: az első legalább 2 órára, a második legalább 5 órára, a harmadik pedig legalább 1 órára. Hányféleképpen lehet megadni a nemnegatív egészekből álló ( kp , pk ) számpárt úgy, hogy egyetlen nap alatt meg lehessen sütni kp darab kerekes puszedit és pk darab puszedlis kereket? Témakör: *Kombinatorika (minimális) (Azonosító: kk_2016_08f ) Egy n tagú választó testület három jelölt közül választ. Mindegyikük rangsorolja őket, az elsőnek 3, a másodiknak 2, a harmadiknak pedig 1 pontot ad. Összesítve a jelöltek pontszámát kiderült, hogy a sorrend egyértelmü, hármuk pontszáma különböző. A testület egyik tagja észrevette, hogy ha a választást úgy bonyolították volna le, hogy mindannyian csak az elsőként rangsorolt jelöltjüknek adtak volna 1 pontot, akkor a jelöltek sorrendje megfordulna. Mi az a legkisebb n érték, amelyre ez előfordulhat? Témakör: *Kombinatorika (Azonosító: kk_2009_11f ) Aha, ha hézagos műveltségem nem hagy cserben, akkor ez a bucka Nyuszi lakását jelenti, Nyuszi pedig Jó Társaságot és valami harapnivalót. De mit keres itt a bucka előtt ez a kocka? És hány olyan sík van a térben, amelyik áthalad a kocka élei közül legalább három felezőpontján? Témakör: *Algebra (Azonosító: kk_2010_15f ) Az InterMouse-nál bizony össze kell húzni a nadrágszíjat. Legfeljebb annyi függvénytáblára van keret, amennyi a 11x + 9y legkisebb pozitív értéke, ha x2 − y2 = 10. Mennyi ez az érték? Témakör: *Kombinatorika (Azonosító: kk_2009_18f ) Malacka szobáját egy színes négyzet díszíti. A négyzet kerületének minden pontját kiszínezték úgy, hogy nincs olyan derékszögű háromszög, melynek minden csúcsa a négyzet határán lenne és csúcsai ugyanolyan színűek. Legalább hány szín kellett a színezéshez? Témakör: *Kombinatorika (számegyenes) (Azonosító: kk_2013_19f ) Az 1,2,3, ..., 8 számokat véletlenszerűen párokba rendeztük. A számegyenesen összekötjük a párok tagjait, így 4 szakaszt kapunk. Mennyi a valószínűsége, hogy ezek közt lesz olyan, ami az összes többit metszi? Adjuk meg a kapott valószínűség $ 2310$ -szeresének egész részét! Témakör: *Algebra (rekurzív sorozat) (Azonosító: kk_2005_08f ) A városi krónikák följegyezték, hogy a költségvetés hiánya évről évre az alábbi különös törvényszerűség szerint alakul: ha az alapítástól számított n-edik évben f(n) jelöli a hiányt, akkor f(1) = 1 és minden pozitív egészre f(2n) = 2f(n)+1. Mennyi a hiány az alapítástól számított 1024-edik évben? Témakör: *Geomteria (terület) (Azonosító: kk_2005_22f ) Plajbász szökőkutat is szeretne a bevásárlóközpontban. A szökőkút alapja egy 4500 cm2 területû egyenlő szárú háromszög alakú medence. Ami a vízsugár elhelyezését illeti, a kockafejűek és a víz különös viszonyára való tekintettel Plajbász óvatosan fog a dologhoz: a háromszög tetszőleges belső P pontjára elkészíti a P tükörképét a három oldalra, majd tekinti az így kapott háromszög S súlypontját, mint a vízsugár egy lehetséges pozícióját. Mekkora annak a síkidomnak a területe, amelyet az így adódó S pontok alkotnak, miközben P befutja a háromszög belsejét? Témakör: *Kombinatorika (sokszög, négyszög, konvex) (Azonosító: kk_2013_15f ) Egy konvex $ 24$ -szög csúcsai közül hányféleképpen lehet kiválasztani négyet úgy, hogy az általuk meghatározott konvex négyszög oldalai a $ 24$ -szög {\em átlói} legyenek? Témakör: *Geometria (Azonosító: kk_2010_14f ) A dzsungelben tévelyegve Lusta Dick egy 33 × 24 méteres téglalapon kötött ki, amelynek két átellenes csúcsán keresztül ősi maya szokás szerint meghúztak két párhuzamos egyenest, amelyek a téglalap hosszabbik oldalait metszik és a távolságuk 60 cm. Mekkora annak a parallelogrammának a területe, amelyet ez a két egyenes metsz ki a téglalapból? Témakör: *Geometria (algebra) (Azonosító: kk_2007_05f ) Az iskolába vezető egyenes úton Pinokkió öt helyen is megállt nézelődni, ezeket a menetirány szerint A, B, C, D és E jelöli. Ha AC:BE = 13:19, AD:CE = 2, BD:AE = 2:3, akkor mennyi AE:CD? Témakör: *Kombinatorika (domino) (Azonosító: kk_2011_18f ) A $ 0$ -tól $ 8$ -ig számozott dominókból Annának teljes készlete van. (A készletben vannak az üres-üres, $ 1-1,\ldots , 8-8$ darabok is, és minden fajtából csak egyetlen darab van.) Anna találomra kiválaszt egy dominót, majd a maradékok közül Béla véletlenszerűen húz kettőt. Jelölje $p/q$ annak a valószínűségét, hogy Béla dominói párosíthatók. ( $p, q$ pozitív egész számok és relatív prímek.) Mennyi $p+q$ értéke? Témakör: *Számelmélet (Azonosító: kk_2009_16f ) Füles azt gondolta: "Miért?" –és néha azt gondolta: "Minekutánna"; és néha azt gondolta: "Amennyiben." Vagy: "Minekutánna tehát." És néha nem is tudta, hogy mire gondol. Így hát őszintén megörült, amikor meglátta Micimackót, aki megkérdezte tőle: melyik a legnagyobb N, amelyre az {1,2,...,N} halmaz elemei között ugyanannyi 3-mal osztható van, mint 5-tel vagy 7-tel osztható? Témakör: *Algebra (Azonosító: kk_2019_08f ) Az Atlanti-óceán időjárásának előrejelzéséhez Kolumbusz megkereste a legkisebb fokú egész együtthatós primitív polinomot, amelynek $ \cos 18^\circ $ gyöke. A válasz ezen polinom együtthatóinak abszolútértékeinek összege. Egy egész együtthatós polinom primitív, ha együtthatóinak legnagyobb közös osztója 1. Témakör: *Kombinatorika (Azonosító: kk_2018_04f ) A $P$ pont az $ABCD$ négyzet síkjának egy olyan pontja, melyre teljesül, hogy a \linebreak $PAB, PBC, PCD, PDA$ háromszögek mindegyike egyenlő szárú háromszög. Hány ilyen $P$ pont van? (Nem számoljuk az elfajuló háromszögeket, melyeknek van $ 0^{\circ}$ -os szöge.) Témakör: *Algebra (Azonosító: kk_2010_10f ) A Ratracer 2000 információs szolgálata nem bírta a gyűrődést: a legválságosabb pillanatban elkezdte egyesével kiírni a pozitív egészeket: 1,2,3,.... Melyik szám kiírása közben jelent meg a kijelzőn a 2010-edik 9-es számjegy? Témakör: *Algebra (polinom) (Azonosító: kk_2005_07f ) A Gauss-eliminációval sikeresen eltávolított paca alól újabb feladat bukkant elô: "Egy n-edfokú ($n\ge0$) $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0$ polinom súlyának az $s=n+|a_0|+|a_1|+\ldots+|a_n|$ számot nevezzük. Hány olyan egész együtthatós polinom adható meg, amelynek a súlya 3"? Témakör: *Algebra (kombinatorika) (Azonosító: kk_2006_18f ) Döbrögi uraság és az érzékeny lelkű magister játszanak. A csipegető ludak közül tekerik ki felváltva néhánynak a nyakát: legalább egynek, de legfeljebb ötnek; ezen kívül a soron következő játékos nem ismételheti meg ellenfele előző lépését. A játékban az veszít, aki nem tud a szabályok szerint lépni. Már csak 41 lúd lézeng a táblán, Döbrögi jön lépésre és öt szárnyast tesz hidegre. Hányat nyuvasszon meg a megmaradók közül a Ludimagister, hogy biztosan megnyerhesse a játékot? Témakör: *Valószínúségszámítás (játék) (Azonosító: kk_2013_20f ) Aladár, Béla és Cili játszanak. Aladárnak $ 15$ , Bélának $ 17$ , Cilinek $ 20$ dollárja van. Egy menetben véletlenszerűen kiválasztanak két olyan játékost, akinek még van pénze és azok egymással játszanak. $ 50-50\%$ , hogy egyikük illetve másikuk nyer. A vesztes $ 1$ dollárt ad a győztesnek. Akinek elfogy a pénze, ez kiesik. Addig tart a játék, amíg egyikük elnyeri az összes pénzt. Átlagosan hány menetből áll a játék? Témakör: *Geometria (Azonosító: kk_2010_01f ) A Kiváncsi Légy karosszériája egy hatcsúcsú test. Egy ABCDEFGH téglatestből kell kialakítani, amelynek élei: AB = 6, AD = 8, AE = 12. A test csúcsai közül kettő az ABCD lap AC átlójának a két végpontja, a további négy pedig az EFGH lap egy-egy élének a felezőpontja. Mekkora a Kíváncsi Légy térfogata? Témakör: *Algebra (gyöktelenítés) (Azonosító: kk_2015_03f ) Számold ki: $ 6" />0 \cdot \left(\dfrac{\sqrt{\sqrt{5}+2}+\sqrt{\sqrt{5}-2}}{\sqrt{\sqrt{5}+1}}-\sqrt{3-2\sqrt{2}}\right)$ Témakör: *Algebra (Azonosító: kk_2010_11f ) Tokió felé propellerezve Grabowksi azon töprengett a palackban, mennyi a $\sin \left(\dfrac{\pi}{3}\left(x-\sqrt{x^2-3x-12}\right)\right)=0$ egyenlet egész megodásainak a négyzetösszege. Mennyi? Témakör: *ALgebra (trigonometria) (Azonosító: kk_2016_19f ) Számítsd ki a pontos értékét! $(1+4\sin^210^\circ)(1+4\sin^230^\circ)(1+4\sin^250^\circ)(1+4\sin^270^\circ)$
Témakör: *Algebra (irracionális) (Azonosító: kk_2013_09f ) Adjuk meg $\lfloor 100xy\rfloor$ értékét, ha $x$ és $y$ olyan racionális számok, amelyekre $\sqrt{2\sqrt{3}-3}=\sqrt{x\sqrt{3}}-\sqrt{y\sqrt{3}}.$ Témakör: *Algebra (másodfokú) (Azonosító: kk_2005_06f ) A nagyhírű Serpenyős gimnázium egyik matadorának kidőlt a tintásüvege és a dolgozatban kapott másodfokú egyenletből csak x2 + ...+12 = 0 maradt. Mintha az elsőfokú tag együtthatója egész szám lett volna és valami - vagy valaki - azt súgta neki, hogy a gyökök is egészek. Ha tényleg ez a helyzet, akkor hány másodfokú egyenletet kell végignéznie? Témakör: *Algebra (sorozat) (Azonosító: kk_2015_01f ) Két egymást követő naptári év során legfeljebb hányszor eshet egy hónap tizenharmadik napja péntekre? Témakör: *Geometria (terület, háromszög) (Azonosító: kk_2013_04f ) Az $ABC$ háromszögben $A_1$ és $B_1$ a $BC$ illetve $AC$ oldalak belső pontjai. $AA_1$ és $BB_1$ metszéspontja $M$ . Az $AMB_1$ , $AMB$ és $BMA_1$ háromszögek területe rendre 3, 7 és 7 egység. Mennyi a $CB_1MA_1$ négyszög területe? Témakör: *Geometria (kör) (Azonosító: kk_2011_11f ) Egy $d = \sqrt{1001} + \sqrt{999}$ átmérőjű $k$ körbe két kört írunk, amelyek kívülről érintik egymást és mindketten érintik a $k$ kört is. A három kör középpontja egy egyenesre esik. A két beírt kör közös belső érintőjének a $k$ belsejébe eső szakasza $\sqrt{2000}$ hosszúságú. A két beírt kör összesen $\pi\cdot A$ területű részét nem fedi le a k körnek. Mennyi az $A$ értéke? Témakör: *Geometria (algebra) (Azonosító: kk_2007_01f ) Gepetto egy téglatest alakú fatuskóból készül kifaragni Pinokkiót. A téglatest felszíne 492 cm2, éleinek összhossza 496 cm. Milyen hosszú a testátlója?
|
|||||
|