Vegyes feladatok: VF_000368
(Feladat azonosítója: VF_000368 )
Témakör: *Algebra (polinom)

Legyen $g(x)$ egész együtthatós polinom. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi polinomnak nincs egész gyöke:

($ 6x^{2}+1)^{2}+5g(x)\cdot (x^{2}+1)-21\cdot g^{2}(x)$.

A megoldóképlet alapján:

$ (x^2+1)_{1,2} =\frac{-5g(x)\pm \sqrt {25g^2(x)+504g^2(x)} }{12} $

$ (x^2+1){ }_1=\frac{3}{2}g(x),\mbox{ }(x^2+1){ }_2=-\frac{7}{3}g(x) $

Tegyük fel, hogy van egész gyöke: $a$. I.

$ a^2+1=\frac{3}{2}g(a), $

$ 2\cdot (a^2+1)=3\cdot g(a) $

Az egyenlet bal oldala páros, tehát $g(a)$-nak is párosnak kell lennie. Így $a^{2 }$+ 1 = 3$k$. Ellentmondásra jutottunk, mivel négyzetszám nem adhat 3-mal osztva 2 maradékot. II.

$ a^2+1=-\frac{7}{3}g(a), $

$ 3\cdot (a^2+1)=-7\cdot g(a) $

Hasonlóképpen $g(a)$ osztható kell hogy legyen 3-mal. $a^{2 }$+ 1 = -7$n$ Viszont egy négyzetszám nem adhat 7-tel osztva 6 maradékot sem. Tehát ez alapján nincs olyan $a$ egész szám, ami gyöke lenne a kérdéses polinomnak.