Egy kis szigeten élő állatfajok populációinak egyedszámát egy modell szerint (jó közelítéssel) a következő képlet adja meg: $ P(t )=\dfrac{E}{1+k\cdot 2^{-ct}} $. A képletben $ P(t) $ az adott faj populációjának egyedszáma a vizsgálat kezdetétől számított $ t $ év elteltével, $ E $, $ k $ és $ c $ pedig az adott faj populációjára jellemző pozitív állandók: E a sziget eltartóképessége (a becsült maximális egyedszám, amit a sziget el tud tartani), $ k $ a populáció kezdeti méretétől, $ c $ pedig a populáció növekedési sebességétől függő állandó.
a) Egy emlősfajra jellemző állandók értéke $ k=1,5 $ és $ c=0,05 $. Tudjuk, hogy a vizsgálat kezdetétől számított 8 év elteltével 140 egyedből áll a faj populációja. Határozza meg a szigetnek az erre az emlősfajra jellemző eltartóképességét!
b) Egy rágcsálófaj esetén a sziget eltartóképessége 1500 egyed. Határozza meg az erre a populációra jellemző k és c állandók értékét, ha a vizsgálat kezdetekor 200, öt évvel később pedig 350 egyedből állt a populáció!
c) Igazolja, hogy egy populáció $ P(t) $ egyedszáma a modell szerint soha nem haladhatja meg a sziget (adott populációra jellemző) eltartóképességét!

Megoldás:

a) $ \approx 300 $

b) $ k=6,5$ és $ c\approx 0,197 $

c) Igaz az állítás