A 2, 4, 6, 8, 10 számok felhasználásával az összes lehetséges módon képezzük azokat a kéttényezős szorzatokat, amelyekben az első tényező kisebb, mint a második. Az így kapott szorzatokat összeadjuk.
a) Számítsa ki ezt az összeget!
Legyen k tetszőleges 1-nél nagyobb pozitív egész szám. Jelölje Sk azt az összeget, amelyet a következő eljárással kapunk: az $ 1, 2, 3, \dots , k $ számok (az első k db pozitív egész szám) felhasználásával az összes lehetséges módon képezzük azokat a kéttényezős szorzatokat, amelyekben az első tényező kisebb, mint a második, majd a kapott szorzatokat összeadjuk.

b) Igazolja, hogy $ S_{k+1}=S_k+\dfrac{k(k+1)}{2} $
c) Igazolja (teljes indukcióval vagy más módszerrel), hogy tetszőleges 1-nél nagyobb $ n $ egész szám esetén  $ S_n=\dfrac{(n-1)n(n+1)(3n+2)}{24} $

Megoldás:

a) $ 340 $

b) Igaz az állítás

c) Igaz az állítás