Bizonyítsuk be, hogy
1 \textbullet 2 \textbullet {\ldots} \textbullet 2001 + 2002 \textbullet 2003 \textbullet {\ldots} \textbullet 4002
osztható 4003-mal!
Vizsgáljuk meg a számok 4003-mal való osztási maradékait:
2002 $\equiv $ -2001 (4003)
2003 $\equiv $ -2000 (4003)
2004 $\equiv $ -1999 (4003)
.
.
4001 $\equiv $ -2(4003)
4002 $\equiv $ -1(4003)
Majd behelyettesíthetjük a kongruenciák jobb oldalán található számokat a feladatban szereplő összeg jobb oldalába, így:
2002\textbullet 2003\textbullet 2004\textbullet ...\textbullet 4002 helyébe:
(-2001)\textbullet (-2000)\textbullet (-1999)\textbullet ...\textbullet (-1).
Ekkor észrevehetjük, hogy a bal oldali szorzat 4003-as osztási maradéka (-1)-szerese a jobb oldaliénak:
(-1)\textbullet 1\textbullet 2\textbullet {\ldots}\textbullet 2001 $\equiv $ (-2001)\textbullet (-2000)\textbullet (-1999)\textbullet ...\textbullet (-1) (4003)
Mert a jobb oldalon páratlan számú negatív tag áll. Ezért:
1\textbullet 2\textbullet 3\textbullet {\ldots}\textbullet 2001 + (-2001)\textbullet (-2000)\textbullet (-1999)\textbullet ...\textbullet (-1) $\equiv $ 0 (4003)
1\textbullet 2\textbullet 3\textbullet {\ldots}\textbullet 2001 + 2002\textbullet 2003\textbullet 2004\textbullet {\ldots}\textbullet 4002 $\equiv $ 0 (4003)
Tehát 1\textbullet 2\textbullet {\ldots}\textbullet 2001 + 2002\textbullet 2003\textbullet {\ldots}\textbullet 4002 osztható 4003-mal.