Adott az $ f(x) = \sin x $ és a $ g(x) = \left(\dfrac{2x}{\pi}\right)^2 $ függvény ($ x \in \mathbb{R} $).

a) Igazolja, hogy mindkét függvény grafikonja áthalad az origón és a $ \left(\dfrac{\pi}{2};1\right) $

b) Határozza meg a két függvény grafikonja által közbezárt síkidom területét, ha $ x \in \left[0;\dfrac{\pi}{2}\right] $

Adott az $ a_n = \dfrac{2+2\pi n}{n} $ ($ n \in \mathbb{N}^+ $ ).

c) Igazolja, hogy ez a sorozat szigorúan monoton csökkenő és korlátos, és adja meg a sorozat határértékét!

Megoldás:

a) Igaz az állítás

b) $ t = -\dfrac{\pi}{6}+1 \approx 0,476 $

c) Igaz az állítás