Adott az $f(x)=\sin x$ és a $g(x)={\left({\displaystyle \frac{2x}{\pi }}\right)}^2$ függvény ($x\in \mathbb{R}$).

a) Igazolja, hogy mindkét függvény grafikonja áthalad az origón és a $({\displaystyle \frac{\pi }{2}};1)$

b) Határozza meg a két függvény grafikonja által közbezárt síkidom területét, ha $x\in [0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$

Adott az $a_n={\displaystyle \frac{2+2\pi n}{n}}$ ($n\in {\mathbb{N}}^{+}$ ).

c) Igazolja, hogy ez a sorozat szigorúan monoton csökkenő és korlátos, és adja meg a sorozat határértékét!

Megoldás:

a) Igaz az állítás

b) $t=-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}+1\approx 0,476$

c) Igaz az állítás