Egy többnapos nemzetközi matematikakonferencia minden résztvevője belépőkártyát kap, amelyen a PQRST konvex ötszög és annak átlói láthatók.

A szervezők úgy tervezik, hogy egy-egy belépőkártyán az ötszög oldalai és átlói közül valahányat (egyet vagy többet, akár az összeset, de az is lehet, hogy egyet sem) megvastagítanak, így a különböző személyek különböző ábrájú kártyát kapnak. Az elektronikus kapu optikai leolvasója ez alapján engedélyezi a belépést, és elvégzi a személy regisztrációját. (Két belépőkártya különböző, ha az egyiken szerepel olyan megvastagított szakasz, amelyik a másikon nem.) A konferenciának 400 résztvevője lesz.

a) Jut-e mindenkinek különböző belépőkártya?
A konferencia épülete egy háromszög alakú területen van. Ha a háromszög csúcsai $ A $, $ B $ és $ C $, akkor $ AB = AC = 130 $ méter, és $ BC $ = 100 méter. A háromszög alakú területet kettéosztja az egyenes $ CD $ kerítés úgy, hogy a $ BCD $ háromszög alakú rész területe $ 2000 m^2 $. 

b) Milyen hosszú a CD kerítés?
A konferencián 200 magyar, 70 angol és 130 német matematikus vesz részt. Az angolok életkorának átlaga 44 év, a németeké 48 év, az összes résztvevő életkorának átlaga 45,7 év.
c) Mennyi a magyar résztvevők életkorának átlaga?

Megoldás:

a) Mindenkinek jut különböző kártya.

b) $ CD \approx 92,4 $ méter

c) 44,8 év