A $p$ paraméter mely értéke esetén van a

egyenletnek pontosan egy gyöke az egész számok halmazán?

Az egyenletben szereplő kifejezések értelmezése alapján $x\ge p$, $x\ge \sqrt {x-p} $ és $\sqrt {x-p} \ge -p$ és $x\ge 0$. Négyzetre emelés és rendezés után

adódik. Mivel $x\ge p$, ezért az egyenlet nullára rendezett és szorzattá alakított formája a következő: $\sqrt {x-p} \left( {\sqrt {x-p} -2} \right)=0$. A kapott szorzat 0 értékű, ha $x=p$ vagy $x=p+4$. Mivel a feladat feltételei szerint csak egy gyök van, ezért a kapott két érték közül pontosan az egyiknek kell megfelelnie az értelmezésnek. Ha $x=p$ az egyetlen gyök, akkor $x\ge p$ teljesül, $x\ge \sqrt {x-p} $ is mindig igaz, tehát $\sqrt {x-p} \ge -p$-nek is teljesülnie kell, ekkor $p\ge 0$. Viszont $x=p+4$ nem gyöke az egyenletnek, így nem felelhet meg az értelmezésnek. De $p\ge 0$ esetén $p+4\ge p$, $p+4\ge 2$, $ 2\ge -p$ és $p+4\ge 0$. Tehát ha $p\ge 0$, akkor $x=p$ esetén $x=p+4$ is gyöke az egyenletnek -- ellenőrizhető módon. Tegyük most fel, hogy az egyenlet egyetlen gyöke $x=p+4$. Ekkor $p+4\ge p$, $p+4\ge 2$, azaz $p\ge -2$, továbbá $ 2\ge -p$, ami az előző esetnek felel meg, és $p+4\ge 0$, így $p\ge -4$. Mindegyik feltétel akkor teljesül, ha $p\ge -2$. Ebben az esetben $x=p$ nem lehet gyök. De $p\ge p$, így $p\ge 0$-nak nem szabad teljesülnie. Tehát az egyenletnek egyetlen valós gyöke van, ha $-2\le p<0$, ez a gyök: $x=p+4$. Ha még az is teljesül -- feladatunk feltételeinek megfelelően --, hogy $x$ egész szám, akkor $p=-2$ esetén $x=2$ a gyök, míg $p=-1$ esetén az egyenlet gyöke 3.

2. Megoldás

A $p$ paraméter értékeire vonatkozó esetbontással oldjuk meg a feladatot. I. $p=0$. Ekkor az egyenlet $\sqrt {x-\sqrt x } =\sqrt {\sqrt x } $ alakú. A kapott egyenletnek két gyöke van: 0 és 4, így $p=0$ nem megoldás. II. $p>0$. Ebben az esetben négyzetre emelés és rendezés után az első megoldásnak megfelelő $\sqrt {x-p} \left( {\sqrt {x-p} -2} \right)=0$ egyenlethez juthatunk. Könnyen ellenőrizhető (visszahelyettesítéssel), hogy ekkor $x=p$ és $x=p+4$ is gyöke az egyenletnek. Mivel $p$ és $p+4$ egyszerre egész szám vagy egyikőjük sem az, ezért $p>0$ nem megoldása a feladatnak. III. Végezetül, ha $p>0$, akkor $\sqrt {x-p} \left( {\sqrt {x-p} -2} \right)=0$ alapján az $x\ge 0$ értelmezésnek megfelelő gyök csak $x=p+4$ lehet. Ez is csak akkor, ha $-2\le p<0$, hiszen $\sqrt {x-p} \ge -p$ miatt $p\ge -2$. Ha viszont $-2\le p<0$ és $x=p+4$ egész szám, akkor $p$ értéke csak $-2$ vagy $-1$ lehet. Ekkor az egyenlet gyökei 2, illetve 3. Behelyettesítéssel ellenőrizhető a két kapott érték helyessége.