Az $x$, $y$, $z$ egész számokra teljesül a következő egyenlőség:

Mennyi az $x+y+z$ összeg legnagyobb és legkisebb értéke?

A megadott egyenlőséget azonos átalakítással a következő alakra hozhatjuk:

Ha a három tényező $a$, $b$, $c$, azaz

akkor összegük: $ 2\left( {x+y+z} \right)=a+b+c$ páros. Így a pozitív egészek körében a következő felbontások jöhetnek szóba:

Az első felbontásból $x+y+z=252$, a másodikból $x+y+z=999$. A keresett legnagyobb érték tehát 999. A legkisebb értéket úgy kaphatjuk meg, ha a felbontásban két tényező negatív, ezek közül a következő két eset jöhet szóba:

Az utóbbi eset adja a minimumot, ekkor $x+y+z=-998$. Megjegyzés. Nem érdektelen 1996 helyett tetszőleges $n$ pozitív egész szám esetén megoldani a feladatot. Az első megoldás jelöléseit használva legyen $\left( {x+y} \right)\left( {y+z} \right)\left( {z+x} \right)=n$, ahol $x+y=a$, $x+z=b$, $y+z=c$, és $abc=n$, akkor $x+y+z=\frac{a+b+c}{2}$. Ha az $n$ páratlan, akkor $n=abc$ alapján $a$, $b$ és $c$ is páratlan szám, de így $x+y+z$ nem lehet egész szám, tehát ekkor nincs megoldás. Ha viszont $n$ páros szám, akkor $x+y+z=\frac{a+b+c}{2}$ egész szám, így van lehetőség a maximum és minimum megadására. Az $n=2$ és $n=4$ esetekben kevés számolással azonnal adódik, hogy például $x=0$, $y=z=1$ esetén maximum, $x=-2$, $y=0$, $z=1$ esetén pedig minimum van, ha $n=2$. A szélsőértékek 2, illetve -1. Ha $n=4$, akkor a maximum 3, a minimum pedig $-2$ az $x=2$, $y=-1$, $z=2$, illetve az $x=-1$, $y=2$, $z=-3$ esetekben. Legyen a továbbiakban $n>4$. Nyilvánvaló, hogy maximum $a$, $b$, $c$>0 esetén lehetséges csak, hiszen ha például $a<$ 0, $b<$ 0 és $c>$ 0, akkor $abc=\left( {-a} \right)\cdot \left( {-b} \right)\cdot \left( {+c} \right)$ és $a+b+c<\left( {-a} \right)+\left( {-b} \right)+c$. Állítjuk, hogy maximum esetén $a$, $b$, $c$ mindegyike nem lehet 1-nél nagyobb. Ugyanis $a$, $b$, $c>$ 1 esetén $a+b\le ab$, mert $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\le 1$, így $a+b+c\le ab+c<abc$, hiszen $\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}<1$. Ezzel szemben viszont az $a=1$, $b=1$, $c=n$ választással $a+b+c=2+abc=n+2$, tehát így $a+b+c$ értéke nagyobb, mint az $a$, $b$, $c>$ 1 esetben. Az előzőekből következik, hogy maximum akkor van, ha $a$, $b$, $c$ közül kettő értéke 1, a harmadik pedig $n$-nel egyenlő, hiszen ha $p>1$, $q>1$ és $ 1\cdot p\cdot q=n>4$, akkor $ 1+p+q\le 1+pq=1+n<n+2$, de az előbb láttuk, hogy az $n+2$ érték elérhető. Beláttuk tehát, hogy $x+y+z\le \frac{n}{2}+1$. Nézzük most meg a minimum előállíthatóságát! Minimum akkor lehet $abc=n$ alapján, ha két tényező negatív, egy pedig pozitív. Legyen például $a>$ 0, $b<$ 0, $c<$ 0; ekkor

Az $a+b+c$ összeg akkor minimális --- mint azt korábban láttuk ---, ha az $a+\left( {-b} \right)+\left( {-c} \right)$ összeg maximális. A maximum esete alapján ez csak $a=1$ esetén lehetséges. Ekkor $ 1+\left( {-b} \right)+\left( {-c} \right)$ maximális és $bc=n$. A korábbiak szerint $b=-1$-nel és $c=-n$-nek is teljesülnie kell, tehát minimum esetén $a=1$, $b=-1$, $c=-n$, ekkor

Meg kell még mutatnunk, hogy mindkét eset meg is valósítható. Például az $x+y=1$, $y+z=1$, $z+x=n$ választással $x=\frac{n}{2}$, $y=-\frac{n}{2}+1$, $z=\frac{n}{2}$, így a maximum értéke $\frac{n}{2}+1$. Az $x+y+z$ összeg minimuma pedig $-\frac{n}{2}$, amelyet például az $x+y=1$, $y+z=-1$, $z+x=-n$ választással érhetünk el. Ebben az esetben $x=1-\frac{n}{2}$, $y=\frac{n}{2}$, $z=-\frac{n}{2}-1$, ahol $n$ páros szám. Megjegyezzük még, hogy a maximum értéke $\left( {\frac{n}{2}+1} \right)$ és a minimum értéke $\left( {-\frac{n}{2}} \right)$ minden esetre érvényes, az $n=2$ és az $n=4$ --- külön tárgyalt --- esetekben is.