Adott 20 különböző pozitív egész szám, mindegyik kisebb 70-nél. Mutassuk meg, hogy páronkénti különbségeik közt van négy egyenlő!
Jelöljük az adott számokat nagyság szerinti sorrendben így:$ a_1, a_2, \ldots, a_{20}$ Megmutatjuk, hogy már a szomszédos indexű számok különbségei között van négy egyenlő. A szomszédos indexű számok különbségeiként a következő 19 számot kapjuk:
$ a_2 -a_1 , \quad a_3 -a_2 ,\quad \ldots , \quad a_{20} -a_{19} . $
Ezek összege: $\left( {a_2 -a_1 } \right)+\left( {a_3 -a_2 } \right)+...+\left( {a_{20} -a_{19} } \right)=a_{20} -a_1 $; a feltevés szerint $ 1\le a_1 <a_{20} <70$, tehát:
$ 0<a_{20} -a_1$ Ha most a számok közt nincs négy egyenlő, akkor -- mivel miatt mindegyik pozitív -- az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számok mindegyike csak háromszor fordulhat elő köztük, így legalább egynek legalább 7-nek kell lenni. Ezek összege:
$ 3\cdot \left( {1+2+3+4+5+6} \right)+7=70, $
ez pedig ellentmond -nak. Így a számok között biztosan van négy egyenlő és ezzel az állítást igazoltuk.