Vegyes feladatok: VF_000818
(Feladat azonosítója: VF_000818 )
Témakör: *ALgebra

Legyen az $\frac{r}{s}$ racionális, 1-nél kisebb tört tizedes tört alakja

$ \frac{r}{s}=0,k_1 k_2 k_3 ... $

Bizonyítsuk be, hogy a

$ \sigma _1 =10\frac{r}{s}-k_1 ,\sigma _2 =10^2\frac{r}{s}-\left( {10k_1 +k_2 } \right), $

$ \sigma _3 =10^3\frac{r}{s}-\left( {10k_1 +10^2k_2 +k_3 } \right),... $

számok között legalább kettő egymással egyenlő.

Az $\frac{r}{s}$ racionális valódi törtnek

0,$k_{1}k_{2}k_{3}$ . . .

Végtelen tizedes tört alakjában a jegyek úgy vannak meghatározva, hogy a

$ 0,k_1 k_2 ...k_m =\frac{k_1 }{10}+\frac{k_2 }{10^2}+...+\frac{k_m }{10^m} $

véges, tizedes tört $\frac{r}{s}$-nél nem nagyobb, de ha $\frac{1}{10}$-nek $m$-edik hatványát hozzáadjuk már $\frac{r}{s}$ -nél nagyobb számot kapunk. Vagyis

$ 0\le \frac{r}{s}-\left( {\frac{k_1 }{10}+\frac{k_2 }{10^2}+...+\frac{k_m }{10^m}} \right)\langle \frac{1}{10^m}. $

Ha még 10-nek $m$-edik hatványával szorzunk, akkor innen

$ \sigma _m =\frac{10^mr-s\left( {10^{m-1}k_1 +10^{m-2}k_2 +...+k_m } \right)}{s} $

értéke 1-nél kisebb nem negatív szám. Ennélfogva a $\sigma _{m}$ számlálójában álló egész szám csak a

0. 1, ..., $s$ - 1

számok valamelyike lehet. Vagyis a $\sigma _{1}$, $\sigma _{2}$, ... sorozat számai $s$ osztályba sorolhatók aszerint, hogy számlálójuk a 0, 1 , . . .. $s $- 1 egész számok melyikével egyenlő. De akkor már a sorozat első $s$ + 1 száma között kell két egyenlőnek lennie.