Vegyes feladatok: VF_001252
(Feladat azonosítója: VF_001252 )
Témakör: *Algebra

Tekintsük a következő $\{c_n \}$ sorozatot

(1) ${\begin{array}{*{20}c} {c_1 =a_1 +a_2 +...+a_8 } \\ {c_2 =a_1^2 +a_2^2 +...+a_8^2 } \\ \vdots \\ {c_n =a_1^n +a_2^n +...+a_8^n } \\ \vdots \\ \end{array} }$

ahol $a_1 ,\;\,a_2 ,\;\,...,\;\,a_8 $ olyan valós számokat jelentenek, melyek nem mind egyenlők nullával. Tudjuk, hogy a $\{c_n \}$ sorozat végtelen sok tagja nullával egyenlő. Állapítsuk meg az összes olyan $n$ számot, melyre $c_n =0$.

Vizsgáljuk meg az (1) alatti $\{c_n \}$ sorozatot. A feltétel szerint $a_i $-k olyan valós számokat jelentenek, melyek nem mind egyenlők nullával. Ezek szerint

$ \max \vert a_i \vert >0. $

Két részre bontjuk a megoldást: $a)$ ha $n$ páros, $b)$ ha $n$ páratlan. Vizsgáljuk meg a két esetet külön-külön. $a)$ Ha $n$ páros, akkor $c_n =0$ nem lehetséges.

$ n=2k\quad \quad (k=1,\;2,\;...), $

ekkor

$ c_{2k} =a_1^{2k} +a_2^{2k} +...+a_8^{2k} . $

$ c_{2k} =(a_1^k )^2+(a_2^k )^2+...+(a_8^k )^2. $

$c_{2k} >0,$ hiszen az összeg tagjai négyzetszámok, ezekről tudjuk, hogy nem negatívak, és van az $a_i $-k között legalább egy, melyre $\vert a_i \vert >0$. $b)$ Ha $n$ páratlan, a feltételeknek megfelelő sorozatot kapunk, ha a 8 szám 4 olyan számpárból áll, ahol az egy párban levő számok összege 0. Megmutatjuk, hogy csak ebben az esetben kapunk megfelelő $c_n $ sorozatot, máskülönben nem lenne végtelen sok tagja nulla. Ehhez $c_n $-et alulról becsüljük meg:

$ n=2k+1\quad \quad (k=0,\;1,\;2,\;...) $

$ c_{2k+1} =a_1^{2k+1} +a_2^{2k+1} +...+a_8^{2k+1} . $

Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy $a_1 $ maximális abszolút értékű.

$ c_{2k+1} =a_1^{2k+1} \left[ {1+\left( {\frac{a_2 }{a_1 }} \right)^{2k+1}+...+\left( {\frac{a_8 }{a_1 }} \right)^{2k+1}} \right]. $

Vegyük a kifejezés abszolút értékét:

(2) $c_{2k+1} =\left| {a_1^{2k+1} } \right|\cdot \left| {1+\left( {\frac{a_2 }{a_1 }} \right)^{2k+1}+...+\left( {\frac{a_8 }{a_1 }} \right)^{2k+1}} \right|$.

Feltehetjük, hogy az $a_2 $ szám az $a_1 $-gyel ellentétes előjelű számok közül maximális abszolút értékű. Van $a_1 $-gyel ellentétes előjelű szám, hiszen különben $\left| {c_{2k+1} } \right|>0$ lenne. Az $\left| {a_1 } \right|\ge \left| {a_2 } \right|$ nyilván fennáll; és

$ \left( {\frac{a_2 }{a_1 }} \right)\le \left( {\frac{a_i }{a_1 }} \right),\quad \left( {\frac{a_2 }{a_1 }} \right)^{2k+1}\le \left( {\frac{a_i }{a_1 }} \right)^{2k+1}\quad (i=3,\;4,\;...,\;8). $

Ezért, ha $({a_i } {a_1 )^{2k+1}}}} \right. } {a_1 )^{2k+1}}$ helyébe $({a_2 } {a_1 )^{2k+1}}}} \right. } {a_1 )^{2k+1}}$-ent írunk a (2) kifejezésbe, a jobb oldal nem növekszik:

(3) $\left| {c_{2k+1} } \right|\ge \left| {a_1^{2k+1} } \right|\cdot \left| {1+7\left( {\frac{a_2 }{a_1 }} \right)} \right|$

teljesül, hacsak

$ 1+7\left( {\frac{a_2 }{a_1 }} \right)^{2k+1}>0. $

Ha $\left| {a_1 } \right|>\left| {a_2 } \right|,$ vagyis $ 0>{a_2 } {a_1 >-1,}}} \right. } {a_1 >-1,}$ a fenti feltétel teljesül, ha már az

$ \frac{1}{7}>\left( {\frac{a_2 }{a_1 }} \right)^{2k+1}, $

azaz

$ 2k+1>\frac{\lg \frac{1}{7}}{\lg \left( {-\frac{a_2 }{a_1 }} \right)}. $

Ez azt jelentené, hogy az előbbi $ 2k+1$ számokra -- (3) miatt -- $\left| {c_{2k+1} } \right|>0,$ és a $\{c_n \}$ sorozatnak nem lenne végtelen sok nullával egyenlő tagja. Az $\left| {a_1 } \right|>\left| {a_2 } \right|$ feltétel tehát ellentmondáshoz vezet, ezért $a_1 +a_2 =0$ és $a_1^{2k+1} +a_2^{2k+1} =0$. Ha már $a_3 =a_4 =...=a_8 =0,$ akkor $c_{2k+1} =0$. Ha van közöttük nullától különböző, akkor az előbbi gondolatmenethez hasonlóan található közöttük olyan $a_r $ és $a_s ,$ hogy $a_r +a_s =0$. És így tovább. Végül is a 8 szám 4 párba szedhető úgy, hogy az egy párban levő számok összege nulla. (A nullával egyező számok között ez a párosítás nyilvánvalóan lehetséges.) Az $a_i $ számokat így választva, $c_{2k+1} =0$ teljesül $(k=0,\;\,1,\;\,2,\;\,...),$ vagyis a $c_n $ sorozatnak végtelen sok tagja nullával egyenlő. Tehát az $n=2k+1$ alakú (páratlan) számokra, és csak ezekre teljesül -- a feladat feltételei mellett -- $c_n =0$.