Vegyes feladatok: VF_001252
(Feladat azonosítója: VF_001252 )
Témakör: *Algebra

Tekintsük a következő ${c_{n}}$ sorozatot

(1)

\begin{matrix} c_{1} = a_{1} + a_{2} + . . . + a_{8} \\ c_{2} = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + . . . + a_{8}^{2} \\ ⋮ \\ c_{n} = a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + . . . + a_{8}^{n} \\ ⋮ \end{matrix}

ahol $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{8}$ olyan valós számokat jelentenek, melyek nem mind egyenlők nullával. Tudjuk, hogy a ${c_{n}}$ sorozat végtelen sok tagja nullával egyenlő. Állapítsuk meg az összes olyan $n$ számot, melyre $c_{n} = 0$ .

Vizsgáljuk meg az (1) alatti ${c_{n}}$ sorozatot. A feltétel szerint $a_{i}$ -k olyan valós számokat jelentenek, melyek nem mind egyenlők nullával. Ezek szerint

max | a_{i} | > 0.

Két részre bontjuk a megoldást: $a)$ ha $n$ páros, $b)$ ha $n$ páratlan. Vizsgáljuk meg a két esetet külön-külön. $a)$ Ha $n$ páros, akkor $c_{n} = 0$ nem lehetséges.

n = 2 k (k = 1, 2, . . .),

ekkor

c_{2 k} = a_{1}^{2 k} + a_{2}^{2 k} + . . . + a_{8}^{2 k} .

c_{2 k} = (a_{1}^{k})^{2} + (a_{2}^{k})^{2} + . . . + (a_{8}^{k})^{2} .

$c_{2 k} > 0,$ hiszen az összeg tagjai négyzetszámok, ezekről tudjuk, hogy nem negatívak, és van az $a_{i}$ -k között legalább egy, melyre $| a_{i} | > 0$ . $b)$ Ha $n$ páratlan, a feltételeknek megfelelő sorozatot kapunk, ha a 8 szám 4 olyan számpárból áll, ahol az egy párban levő számok összege 0. Megmutatjuk, hogy csak ebben az esetben kapunk megfelelő $c_{n}$ sorozatot, máskülönben nem lenne végtelen sok tagja nulla. Ehhez $c_{n}$ -et alulról becsüljük meg:

n = 2 k + 1 (k = 0, 1, 2, . . .)

c_{2 k + 1} = a_{1}^{2 k + 1} + a_{2}^{2 k + 1} + . . . + a_{8}^{2 k + 1} .

Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy $a_{1}$ maximális abszolút értékű.

c_{2 k + 1} = a_{1}^{2 k + 1} [1 + {(\frac{a_{2}}{a_{1}})}^{2 k + 1} + . . . + {(\frac{a_{8}}{a_{1}})}^{2 k + 1}] .

Vegyük a kifejezés abszolút értékét:

(2)

c_{2 k + 1} = | a_{1}^{2 k + 1} | \cdot | 1 + {(\frac{a_{2}}{a_{1}})}^{2 k + 1} + . . . + {(\frac{a_{8}}{a_{1}})}^{2 k + 1} |

Feltehetjük, hogy az $a_{2}$ szám az $a_{1}$ -gyel ellentétes előjelű számok közül maximális abszolút értékű. Van $a_{1}$ -gyel ellentétes előjelű szám, hiszen különben $| c_{2 k + 1} | > 0$ lenne. Az $| a_{1} | \geq | a_{2} |$ nyilván fennáll; és

(\frac{a_{2}}{a_{1}}) \leq (\frac{a_{i}}{a_{1}}), {(\frac{a_{2}}{a_{1}})}^{2 k + 1} \leq {(\frac{a_{i}}{a_{1}})}^{2 k + 1} (i = 3, 4, . . ., 8) .

Ezért, ha $Extra close brace or missing open brace$ helyébe $Extra close brace or missing open brace$ -ent írunk a (2) kifejezésbe, a jobb oldal nem növekszik:

(3)

| c_{2 k + 1} | \geq | a_{1}^{2 k + 1} | \cdot | 1 + 7 (\frac{a_{2}}{a_{1}}) |

teljesül, hacsak

1 + 7 {(\frac{a_{2}}{a_{1}})}^{2 k + 1} > 0.

Ha $| a_{1} | > | a_{2} |,$ vagyis $Extra close brace or missing open brace$ a fenti feltétel teljesül, ha már az

\frac{1}{7} > {(\frac{a_{2}}{a_{1}})}^{2 k + 1},

azaz

2 k + 1 > \frac{\lg \frac{1}{7}}{\lg (- \frac{a_{2}}{a_{1}})} .

Ez azt jelentené, hogy az előbbi $2 k + 1$ számokra -- (3) miatt -- $| c_{2 k + 1} | > 0,$ és a ${c_{n}}$ sorozatnak nem lenne végtelen sok nullával egyenlő tagja. Az $| a_{1} | > | a_{2} |$ feltétel tehát ellentmondáshoz vezet, ezért $a_{1} + a_{2} = 0$ és $a_{1}^{2 k + 1} + a_{2}^{2 k + 1} = 0$ . Ha már $a_{3} = a_{4} = . . . = a_{8} = 0,$ akkor $c_{2 k + 1} = 0$ . Ha van közöttük nullától különböző, akkor az előbbi gondolatmenethez hasonlóan található közöttük olyan $a_{r}$ és $a_{s},$ hogy $a_{r} + a_{s} = 0$ . És így tovább. Végül is a 8 szám 4 párba szedhető úgy, hogy az egy párban levő számok összege nulla. (A nullával egyező számok között ez a párosítás nyilvánvalóan lehetséges.) Az $a_{i}$ számokat így választva, $c_{2 k + 1} = 0$ teljesül $(k = 0, 1, 2, . . .),$ vagyis a $c_{n}$ sorozatnak végtelen sok tagja nullával egyenlő. Tehát az $n = 2 k + 1$ alakú (páratlan) számokra, és csak ezekre teljesül -- a feladat feltételei mellett -- $c_{n} = 0$ .