Tekintsük a következő $\{c_n \}$ sorozatot
ahol $a_1 ,\;\,a_2 ,\;\,...,\;\,a_8 $ olyan valós számokat jelentenek, melyek nem mind egyenlők nullával. Tudjuk, hogy a $\{c_n \}$ sorozat végtelen sok tagja nullával egyenlő. Állapítsuk meg az összes olyan $n$ számot, melyre $c_n =0$.
 
Vizsgáljuk meg az (1) alatti $\{c_n \}$ sorozatot. A feltétel szerint $a_i $-k olyan valós számokat jelentenek, melyek nem mind egyenlők nullával. Ezek szerint
Két részre bontjuk a megoldást: $a)$ ha $n$ páros, $b)$ ha $n$ páratlan. Vizsgáljuk meg a két esetet külön-külön. $a)$ Ha $n$ páros, akkor $c_n =0$ nem lehetséges.
ekkor
$c_{2k} >0,$ hiszen az összeg tagjai négyzetszámok, ezekről tudjuk, hogy nem negatívak, és van az $a_i $-k között legalább egy, melyre $\vert a_i \vert >0$. $b)$ Ha $n$ páratlan, a feltételeknek megfelelő sorozatot kapunk, ha a 8 szám 4 olyan számpárból áll, ahol az egy párban levő számok összege 0. Megmutatjuk, hogy csak ebben az esetben kapunk megfelelő $c_n $ sorozatot, máskülönben nem lenne végtelen sok tagja nulla. Ehhez $c_n $-et alulról becsüljük meg:
Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy $a_1 $ maximális abszolút értékű.
Vegyük a kifejezés abszolút értékét:
Feltehetjük, hogy az $a_2 $ szám az $a_1 $-gyel ellentétes előjelű számok közül maximális abszolút értékű. Van $a_1 $-gyel ellentétes előjelű szám, hiszen különben $\left| {c_{2k+1} } \right|>0$ lenne. Az $\left| {a_1 } \right|\ge \left| {a_2 } \right|$ nyilván fennáll; és
Ezért, ha $({a_i } {a_1 )^{2k+1}}}} \right. } {a_1 )^{2k+1}}$ helyébe $({a_2 } {a_1 )^{2k+1}}}} \right. } {a_1 )^{2k+1}}$-ent írunk a (2) kifejezésbe, a jobb oldal nem növekszik:
teljesül, hacsak
Ha $\left| {a_1 } \right|>\left| {a_2 } \right|,$ vagyis $ 0>{a_2 } {a_1 >-1,}}} \right. } {a_1 >-1,}$ a fenti feltétel teljesül, ha már az
azaz
Ez azt jelentené, hogy az előbbi $ 2k+1$ számokra -- (3) miatt -- $\left| {c_{2k+1} } \right|>0,$ és a $\{c_n \}$ sorozatnak nem lenne végtelen sok nullával egyenlő tagja. Az $\left| {a_1 } \right|>\left| {a_2 } \right|$ feltétel tehát ellentmondáshoz vezet, ezért $a_1 +a_2 =0$ és $a_1^{2k+1} +a_2^{2k+1} =0$. Ha már $a_3 =a_4 =...=a_8 =0,$ akkor $c_{2k+1} =0$. Ha van közöttük nullától különböző, akkor az előbbi gondolatmenethez hasonlóan található közöttük olyan $a_r $ és $a_s ,$ hogy $a_r +a_s =0$. És így tovább. Végül is a 8 szám 4 párba szedhető úgy, hogy az egy párban levő számok összege nulla. (A nullával egyező számok között ez a párosítás nyilvánvalóan lehetséges.) Az $a_i $ számokat így választva, $c_{2k+1} =0$ teljesül $(k=0,\;\,1,\;\,2,\;\,...),$ vagyis a $c_n $ sorozatnak végtelen sok tagja nullával egyenlő. Tehát az $n=2k+1$ alakú (páratlan) számokra, és csak ezekre teljesül -- a feladat feltételei mellett -- $c_n =0$.