Vegyes feladatok: VF_000888
(Feladat azonosítója: VF_000888 )
Témakör: *Algebra

Oldjuk meg a következő egyenletet:

(1) $\cos ^nx-\sin ^nx=1$

ahol $n$ tetszőlegesen adott természetes szám.


 

Tegyük fel először, hogy $n\ge 2$. A jobb oldal helyére $\cos ^2x+\sin ^2x$-et írva, (1) így alakítható:

(2) $\sin ^2x(1+\sin ^{n-2}x)+\cos ^2x(1-\cos ^{n-2}x)=0$.

Mivel $n-2\ge 0,\;\sin ^{n-2}x\ge -1$ és $\cos ^{n-2}\le 1,$ ezért

$ 1+\sin ^{n-2}x\ge 0, $

és

$ 1-\cos ^{n-2}x\ge 0, $

tehát (2) bal oldalán egyik szorzat sem negatív. A (2) csak úgy teljesülhet, ha mindkét szorzat 0-val egyenlő:

(3) $\sin ^2x(1+\sin ^{n-2}x)=0$

és

(4) $\cos ^2x(1-\cos ^{n-2}x)=0$

egyszerre fennáll. A (3) két esetben teljesül, ha $a) \quad \sin ^2x=0,$ azaz $x=k\pi $ ($k$ egész szám); $b) \quad \sin ^{n-2}x=-1,$ ennek csak páratlan $n$ mellett van valós megoldása: $\sin x=-1,$ azaz $x=\frac{3}{2}\pi +2k\pi $. Az $a)$ esetben $\cos x=\pm 1,$ tehát (4) csak úgy teljesülhet, ha második tényezője 0. Páros $n$-re $\cos ^{n-2}x=1,$ ezért a második tényező mindig 0, páratlan $n$-re viszont csak akkor 0 a második tényező, ha $\cos x=+1,$ azaz $x=2k\pi $. A $b)$ esetben $\cos x=0,$ tehát (4) teljesül. Végül, ha $n=1,$ és $\sqrt 2 $-vel osztunk, (1) így írható:

$ \frac{1}{\sqrt 2 }\cos x-\frac{1}{\sqrt 2 }\sin x=\cos \frac{\pi }{4}\cos x-\sin \frac{\pi }{4}\sin x=\cos \left( {\frac{\pi }{4}+x} \right)=\frac{1}{\sqrt 2 }, $

amiből

$ \frac{\pi }{4}+x=\pm \frac{\pi }{4}+2k\pi , $

azaz

$ x=\left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {2k\pi ;} \\ {\frac{3}{2}\pi +2k\pi \quad (k\mbox{ egész).}} \\ \end{array} }} \right. $

Ugyanarra az eredményre jutottunk, mint fentebb, amikor 1-nél nagyobb páratlan $n$ a kitevő. Foglaljuk össze eredményeinket:

$ {\begin{array}{*{20}c} {\mbox{Ha }n=2j,}{\mbox{akkor }x=k\pi ;} \\ {\mbox{ha }n=2j-1,}{\mbox{akkor }x=2k\pi \mbox{ és }x=\left( {\frac{3}{2}+2k} \right)\pi } \\ \end{array} } $

a megoldások ($j$ természetes szám, $k$ egész számot jelöl).