Vegyes feladatok: VF_000058
(Feladat azonosítója: VF_000058 )
Témakör: *Algebra (egyenlet rendszer)

Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:

$ x^3y^2z=2 $

$ y^3z^2u=8 $

$ z^3u^2x=32 $

$ u^3x^2z=8 $

Világos, hogy egyik ismeretlen sem lehet 0, másrészt, mivel az (1) egyenlet bal oldalán $z$ kitevője páros, $x$-é és $z$-é páratlan, így $x$ és $z$ egyező előjelű /ugyanez olvasható le (3)-ból is/. Ugyanígy következik (2)-ből /vagy (4)-ből/, hogy $z$ és $u$ is egyező előjelű. Az egyenletek hasonló szerkezetét kihasználhatjuk azáltal, hogy összeszorozzuk őket, így mindegyik kitevője egyenlő lesz.

$ x^6y^6z^6u^6=2\cdot 8\cdot 32\cdot 8=2^{12} $

Ebből hatodik gyököt vonva, mivel az ismeretlenek szorzata az előjelekre tett megállapítások szerint pozitív, kapjuk, hogy

(5) $xyzu=2^2=4$

(2)-t (1)-gyel osztva

(6) $\frac{yzu}{x^3}=4$

és ezzel (5)-öt osztva $x^4=1,$ amiből $x=\pm 1$. Hasonlóan lehet kiszámítani a többi ismeretlent: (5)-öt előbb (3) és (2) hányadosával osztva $y=\pm 1$, majd (4) és (3), végül pedig (1) és (4) hányadosával osztva $y=\pm 2$, ill. $u=\pm 2$. A fentiekből azt is látjuk, hogy az $x$, $z$ és $y$, $u$ ismeretlen-párok előjelei függetlenek egymástól, azért megoldást a következő négy értékrendszer szolgáltathat:

$ x_1 =1, \quad z_1 =2, \quad y_1 =1, \quad u_1 =2 $

$ x_2 =1, \quad z_2 =2, \quad y_2 =-1, \quad u_2 =-2 $

$ x_3 =-1, \quad z_3 =-2, \quad y_3 =1, \quad u_3 =2 $

$ x_4 =-1, \quad z_4 =-2, \quad y_4 =-1, \quad u_4 =-2 $

A próba mutatja, hogy mindegyik kielégíti az egyenletrendszert. Ezzel feladatunkat megoldottuk. Megjegyzés: 1. Ugyancsak egyszerű a kiküszöbölés, ha (2) és (3) szorzatát osztjuk (1) és (4) szorzatával, ill. (3) és (4) szorzatát osztjuk (1) és (2) szorzatával:

$ \frac{xy^3z^5u^3}{x^5y^3zu^3}=\left( {\frac{z}{x}} \right)^4=\frac{8\cdot 32}{2\cdot 8}=16\mbox{, ill. }\left( {\frac{u}{y}} \right)^4=16, $

amiből - az előjelekről tett észrevétel alapján -

$ z=2x \quad u=2y. $

Így pedig (1) és (2)-ből

$ x^4y^2=x^2y^4=1, \quad \left( {\frac{x}{y}} \right)^2=1, \quad y=\pm x. $

2. Kézenfekvő az (1)-(4) egyenletek két oldalának logaritmusát venni, így ugyanis az ismeretlenek logaritmusaira elsőfokú egyenletrendszert kapunk. Minthogy a jobb oldalon 2-nek pozitív egész kitevős hatványai állnak, célszerű a 2-es alapú logaritmusok egyenlőségét felírni.

$ \log _2 x=X,\mbox{ }\log _2 y=Y,\mbox{ }\log _2 z=Z,\mbox{ }\log _2 u=U $

(*1) $ 3X+2Y+Z=1$ (2*) $ 3Y+2Z+U=3$ (3*) $ 3Z+2U+X=5$ (4*) $ 3U+2X+Y=3$ Lényegesen különböző megoldásokhoz így sem jutunk, csak szorzás-osztás helyett összeadást ill. kivonást, hatványozás-gyökvonás helyett pedig szorzást-osztást kell ekkor végeznünk. Másrészt viszont így csak pozitív megoldást kaphatunk. Több versenyző próbálkozott ilyen megoldással, de 10 alapú logaritmusokat használtak és a jobb oldalakat négy tizedes jegyű közelítő értékeikkel helyettesítették.