Bizonyítsa be, hogy bármely közvetlenül egymás után következő $ 1997$ darab pozitív egész szám négyzetének összege nem lehet négyzetszám.

Indirekt úton bizonyítjuk be az állítást. Tegyük fel, hogy létezik 1997 darab olyan egymás utáni pozitív egész szám, amelyek négyzetének összege is négyzetszám. Jelölje a középsőt, azaz a 999-edik számok $x$, ahol $x\in {\rm {\bf N}}^+$. Feltevésünk szerint

ahol $n\in {\rm {\bf N}}^+$ és $x>998$. Ekvivalens átalakításokkal

adódik, illetve az

összefüggést felhasználva az

egyenlőségre jutunk. bal oldala csak akkor lehet négyzetszám, ha

ahol $k$ is négyzetszám. Írjuk fel táblázatban a szereplő mennyiségek utolsó számjegyeit. (3)-as táblázat:

Az utolsó sorból kiderül, hogy az utolsó két oszloppal nem kell foglalkozni, mert $n^2$ nem végződhet sem 3-ra, sem 8-ra. a.) Ha $n^2$ utolsó számjegye 5, akkor $n$ is 5-re végződik, azaz

és ekkor

Másrészt a (3)-as táblázat első oszlopa szerint $n^2$ utolsó jegye 5, $x^2+332334$ utolsó jegye 5, $x^2$ utolsó jegye 1, $x$ utolsó jegye 1 vagy 9. Így, ha $x=10b+1$, akkor $x^2=100b^2+10\left( {2b} \right)+1$, vagy ha $x=10b+9$, akkor $x^2=100b^2+10\left( {18b+8} \right)+1$. Figyelembe véve, hogy $b=0,\;1,\;2,\;\ldots $, a szereplő számok utolsó két jegye a következő táblázatba foglalható:

Ámde az -ös sor ellentmond a (4)-es kijelentésnek, tehát az a.) esetet ezzel kizártuk. b.) Ha $n^2$ utolsó számjegye 6, akkor $n$ vagy 6-ra vagy 4-re végződik, azaz $n=10c+6$ vagy $n=10c+4, \quad \left( {c\in {\rm {\bf N}}} \right),$ és ekkor $n^2=100c^2+10\left( {12c+3} \right)+6$ vagy $n^2=100c^2+10\left( {8c+1} \right)+6.$ Mindkét esetben az utolsó előtti helyen páratlan számjegy van, vagyis $n^2$ utolsó két jegye 16, 36, 56, 76, 96 lehet. (6) Másrészt a (3)-as táblázat második oszlopa szerint $n^2$ utolsó jegye 6, $x^2+332334$ utolsó jegye 8, $x^2$ utolsó jegye 4, $x$ utolsó jegye 2 vagy 8. Így ha $x=10d+2$, akkor $x^2=100d^2+10\left( {4d} \right)+4$, vagy ha $x=10d+8$, akkor $x^2= \quad =100d^2+10\left( {16d+6} \right)+4$. Figyelembe véve, hogy $d=0,\;1,\;2,\;\ldots $, a szereplő számok utolsó két jegye a következő táblázatba foglalható:

Ámde a -es sor ellentmond a (6)-os kijelentésnek, tehát a b.) esetet ezzel kizártuk. c.) Ha $n^2$ utolsó számjegye 1, akkor $n$ vagy 1-re, vagy 9-re végződik, azaz $n=10e+1$ vagy $n=10e+9, \quad \left( {e\in {\rm {\bf N}}} \right),$ és ekkor $n^2=100e^2+10\left( {2e} \right)+1$ vagy $n^2=100e^2+10\left( {18e+8} \right)+1.$ Mindkét esetben az utolsó előtti helyen páros számjegy van, vagyis $n^2$ utolsó két jegye 01, 21, 41, 61, 81 lehet. (8) Másrészt a (3)-as táblázat harmadik oszlopa szerint $n^2$ utolsó jegye 1, $x^2+332334$ utolsó jegye 3, $x^2$ utolsó jegye 9, $x$ utolsó jegye 3 vagy 7. Így ha $x=10f+3$, akkor $x^2=100f^2+10\left( {6f} \right)+9$, vagy ha $x=10f+7$, akkor $x^2=100f^2+10\left( {14f+4} \right)+9$. Figyelembe véve, hogy $f=1,\;2,\;\ldots $, a szereplő számok utolsó két jegye a következő táblázatba foglalható:

Ámde a -es sor ellentmond a (8)-as kijelentésnek, tehát a c.) esetet ezzel kizártuk. d.) Ha $n^2$ utolsó számjegye 0, akkor $n^2$ és $n$ is osztható 10-zel, de ekkor $n^2$ osztható 100-zal is. -ből következik ezért, hogy

100 többszöröse, mivel 1997 prím. Ez azt jelenti, hogy $x^2$ végződésének 66-nak kell lennie. Ez csak úgy teljesülhetne, ha $x$ utolsó számjegye 4 vagy 6 lenne. De mint b.)-ben láttuk, ekkor $x^2$ végződései között a 66 nem szerepel. Tehát $n^2$ utolsó számjegye 0 sem lehet. Ezzel az utolsó esetet is kizártuk. A (3)-as táblázat összes esetét megvizsgáltuk, és mindegyik esetben ellentmondásra jutottunk, ezért a feladat állítása igaz.

2. Megoldás

Bizonyításunk most is indirekt, azaz feltesszük, hogy van olyan 1997 darab egymás utáni pozitív egész szám, amelyek négyzetének összege is négyzetszám. Osszuk fel az első számtól kiindulva az 1997 számot 4-es csoportokra. Mivel $ 1997=4\cdot 499+1$, ezért 499 csoport van, és az utolsó szám kimarad. Jelöljük a csoport első számát $a$-val. A csoport első számának 4-gyel való osztási maradéka szerint négy esetet különböztetünk meg. Első esetben $a=4k$, ahol $k\in {\rm {\bf N}}^+$. Ekkor minden 4-es csoport első száma 4-gyel osztható, második száma 4-gyel osztva 1, harmadik száma 2, negyedik száma 3 maradékot ad, és így a kimaradó utolsó szám 4-gyel osztható, azaz 4-es osztási maradéka 0. Második esetben $a=4k+1$, így egy csoporton belül a 4-gyel való osztási maradékok rendre 1, 2, 3, 0, és a kimaradó utolsó szám 4-es osztási maradéka 1. Harmadik esetben $a=4k+2$, ezért minden csoporton belül a 4-gyel való osztási maradékok rendre 2, 3, 0, 1, és a kimaradó utolsó szám 4-es osztási maradéka 2. Negyedik esetben $a=4k+3$, így egy csoporton belül a 4-gyel való osztási maradékok rendre 3, 0, 1, 2, és a kimaradó utolsó szám 4-es osztási maradéka 3. Vizsgáljuk ezután a négyzetszámok 8-as maradékait, hiszen a számok négyzeteit összegezzük. Belátjuk, hogy ha a négyzetszámokat 8-cal elosztjuk, akkor 0, 1 vagy 4 maradékot kapunk. Ugyanis, ha $k\in {\rm {\bf N}}$, és a négyzetszám $b^2$, akkor a

egyenlőségek alátámasztják ezt az állítást. Az 1997 darab szám 4-es csoportosítása biztosítja, hogy minden csoportban a számok négyzetének 8-as osztási maradékait összegezve 6-ot $\left( {0+1+4+1} \right)$ kapunk. Mivel 499 darab 4-es csoportot képeztünk, ezért a 4-es csoportokban lévő számok négyzetének 8-as való osztási maradékait összeadva minden esetben $ 499\cdot 6=2994$-et kapunk. Mivel azonban $ 2994=8\cdot 374+2$, ezért az összes csoport összegének 8-as maradéka 2. Az első, második, harmadik, illetve negyedik esetben a kimaradó utolsó szám 8-as osztási maradéka rendre 0, 1, 4, 1. Ezért a teljes összegben a 8-as osztási maradékok rendre 2, 3, 6, 3. Viszont feltettük, hogy a jobb oldal is négyzetszám, és láttuk, hogy négyzetszám 8-cal osztva 0, 1 vagy 4 maradékot adhat. A két oldal maradékai ellentmondanak egymásnak, azaz a feltevézünk helytelen. Ezért az 1997 darab egymás utáni pozitív egész szám négyzetének összege nem lehet négyzetszám, akárhogyan is választunk 1997 pozitív egész számot.

3. Megoldás

Indirekt úton bizonyítjuk be az állítást. Tegyük fel, hogy létezik 1997 darab olyan egymás utáni pozitív egész szám, amelyek négyzetének összege is négyzetszám. Jelölje a középsőt, azaz a 999-edik számok $x$, ahol $x\in {\rm {\bf N}}^+$. Feltevésünk szerint

ahol $n\in {\rm {\bf N}}^+$ és $x>998$. Ekvivalens átalakításokkal

adódik, illetve az

összefüggést felhasználva az

egyenlőségre jutunk. bal oldala csak akkor lehet négyzetszám, ha

ahol $d\in {\rm {\bf N}}$. Ennek az egyenlőségnek a jobb oldalát átírva

Rendezés után

azaz

A egyenlőség bal oldala páros számok összege, s ezért páros. A bal oldallal egyenlő jobb oldalnak is párosnak kell lennie. Vizsgáljuk meg a jobb oldalt párosság szempontjából. a.) Ha $d$ és $x$ közül az egyik páros, a másik páratlan, akkor $ 45d+x$ és $ 45d-x$ mindegyike páratlan, szorzatuk ezért páratlan, tehát ez az eset nem fordulhat elő, hiszen ellentmondana -nak. b.) Ha $d$ és $x$ páros, akkor $ 45d+x$ és $ 45d-x$ mindegyike páros, tehát a szorzatuk is páros, sőt, a szorzat osztható 4-gyel. Ámde a szorzattal egyenlő bal oldal alapján nem osztható 4-gyel. c.) Ha $d$ és $x$ páratlan, akkor $ 45d+x$ és $ 45d-x$ mindegyike páros, tehát a szorzatuk is páros, sőt 4-gyel is osztható. A b.) esetben pedig láttuk, hogy ez ellentmondásra vezet. Több eset nem lehet, és ezért

Ez éppen azt jelenti, hogy a kiindulási egyenlőségünk, azaz az

egyenlőség nem igaz, tehát a feladat állítása helyes.

4. Megoldás

Például az I. megoldás szerint eljuthatunk az $S=1997\left( {x^2+998\cdot 333} \right)$ (*) egyenlőséghez $\left( {x\in {\rm {\bf N}},\quad x>999} \right)$. Mivel $ 998=2\cdot 499$ és $ 333=3^2\cdot 37$, azért

4-gyel való osztási maradékok (röviden maradékok) vizsgálatával megmutatjuk, hogy $S$ nem lehet négyzetszám. 1.) Ha $x=2k$, akkor $x^2=4k^2$, maradéka 0, ha $x=2k+1$, akkor $x^2=4\left( {k^2+1} \right)+1$, maradéka 1, tehát a négyzetszámok maradéka 0 vagy 1 $\left( {k\in {\rm {\bf N}}} \right)$. 2.) Mivel $ 2=4\cdot 0+2$, $ 9=4\cdot 2+1$, $ 37=4\cdot 9+1$, $ 499=4\cdot 124+3$, azért

Ebből az egyenlőségből a kijelölt műveletek elvégzése után látható, hogy a maradék 2. 3.) $x^2+2\cdot 3^2\cdot 37\cdot 499$ maradéka 1.) és 2.) szerint 2 vagy 3. 4.) Mivel $ 1997=4\cdot 499+1$, azért a (*)-gal jelölt egyenlőség jobb oldalán a maradék 2 vagy 3. Ugyanis ezt a

egyenlőségek igazolják $\left( {a,\;b\in {\rm {\bf N}}^+} \right)$. 5.) Mivel a (*)-gal jelölt egyenlőség jobb oldalán a maradék nem 0 vagy 1, azért $S$ nem lehet négyzetszám.