(Feladat azonosítója: VF_001442 )
Témakör: *Számelmélet
Melyek azok a kétjegyű számok, amelyeknek a legtöbb osztója van?
Legyen az $n$ kétjegyű szám prímhatványtényezős felbontása:
$ n=p_1^{\alpha _1 } \cdot p_2^{\alpha _2 } \cdot \,\,\ldots \,\,\cdot p_r^{\alpha _r } \quad (p_1 ahol 
$ p_1^{\alpha _1 +\alpha _2 +\ldots +\alpha _r } \le n\le p_r^{\alpha _1 +\alpha _2 +\ldots +\alpha _r } , $
másrészt az $n$ osztóinak száma $d(n)=(\alpha _1 +1)\cdot (\alpha _2 +1)\cdot \,\,\ldots \,\,\cdot (\alpha _r +1)$. Mivel $ 2^6<100<2^7$, ezért miatt $\alpha _1 +\alpha _2 +\,\,\ldots \,\,+\alpha _r \le 6$, és $ 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7>100$ miatt $r\le 3$. Így
$ \begin{array}{l} 2^5\cdot 3<100<2^5\cdot 3^2, \\ 2^4\cdot 3\cdot 5>100, \\ 2^3\cdot 3^2<100<2^3\cdot 3^3, \\ 2^2\cdot 3^3>2^2\cdot 5^2=100 \\ \end{array} $
miatt a két prímhatványtényezős kétjegyűek között a legtöbb, mégpedig 12 osztója csak a $ 2^5\cdot 3=96$ és a $ 2^3\cdot 3^2=72$ számoknak van. A három prímhatványtényezőjűek között pedig a $ 2^2\cdot 3\cdot 5=60$, a $ 2^2\cdot 3\cdot 7=84$ és a $ 2\cdot 3^2\cdot 5=90$ számoknak van 12 osztója. Összefoglalva: Beláttuk, hogy a kétjegyű számok között a 60, 72, 84, 90 és 96 számoknak van a legtöbb, szám szerint 12 osztója. Megjegyzés: A középiskolában használatos Négyjegyű Függvénytáblázatok (Tankönyvkiadó, 1984., 53. oldal) 18. táblázata tartalmazza a 2-vel, 3-mal és 5-tel nem osztható számok törzstényezős felbontását. Ennek felhasználásával is célhoz juthatunk.