Kavics Kupa 2013 18. feladat
(Feladat azonosítója: kk_2013_18f )
Témakör: *Geometria (algebra, egyenlőtlenség)

Aladár egy  $ 100$  szakaszból álló töröttvonalon jut el az eredetileg tőle  $ 900$  m-re levő  $B$  ponthoz úgy, hogy minden pillanatban közelebb és közelebb kerül  $B$  -hez. Legfeljebb milyen hosszú lehet az útja (méterben)?


 

Végeredmény: 9000

 

Jelölje Aladár kiindulási pontját  $P_0$  , töröttvonalának további szögpontjait  $P_1$  ,  $P_2$  , \ldots ,  $P_{99}$  és  $P_{100}=B$  . Mivel Aladár végig közeledik  $B$  -hez, így a  $P_iP_{i+1}B$  háromszögben nem lehet  $P_{i+1}$  -nél hegyesszög, azaz  $P_iP_{i+1}^2+P_{i+1}B^2\leq P_{i}B^2$  és így a

$\begin{array}{lcl} P_{1}B^2&\leq & P_{0}B^2 - P_0P_1^2\\ P_{2}B^2&\leq & P_{1}B^2 - P_1P_2^2\\ P_{3}B^2&\leq & P_{2}B^2 - P_2P_3^2\\ &\vdots& \\ P_{99}B^2&\leq & P_{98}B^2 - P_{98}P_{99}^2 \end{array} $

ahol  $P_{99}B=P_{99}P_{100}$  az utolsó töröttvonal-darab hossznégyzete, míg  $P_0B^2=AB^2$  Aladár kiindulópontjának a céltól való távolságának négyzete. A fenti egyenletek összegéből:

$P_0P_1^2+P_1P_2^2+\ldots + P_{98}P_{99}^2+P_{99}P_{100}^2\leq AB^2.$

Érdemes felírnunk a számtani és a négyzetes közép közti összefüggést:

$\frac{P_0P_1+P_1P_2+\ldots + P_{98}P_{99}+P_{99}P_{100}}{100} \leq \sqrt{\frac{P_0P_1^2+P_1P_2^2+\ldots + P_{98}P_{99}^2+P_{99}P_{100}^2}{100}}\leq \frac{AB}{10}.$

Innen

$P_0P_1+P_1P_2+\ldots + P_{98}P_{99}+P_{99}P_{100}\leq 10 AB.$

Az egyenlőség el is érhető, ha a  $P_{99}$  ,  $P_{98}$  , \ldots,  $P_0$  pontokat úgy vesszük fel, hogy a  $BP_{99}P_{98}$  háromszög egyenlő szárú és derékszögű legyen, majd a  $BP_{i+1}$  egyenesre  $P_{i+1}$  -ben mindig merőlegest állítunk és a megfelelő irányban felmérjük rá a  $P_{i+1}P_i=BP_{99}$  szakaszt. Ha készen vagyunk  $P_0$  -lal is, akkor megfelelően forgatva nyújtjuk a töröttvonalat  $B$  körül, hogy  $P_0$  Aladár előírt helyére kerüljön.