Kavics Kupa 2013 15. feladat
(Feladat azonosítója: kk_2013_15f )
Témakör: *Kombinatorika (sokszög, négyszög, konvex)

Egy konvex  $ 24$  -szög csúcsai közül hányféleképpen lehet kiválasztani négyet úgy, hogy az általuk meghatározott konvex négyszög oldalai a  $ 24$  -szög {\em átlói} legyenek?



 

Végeredmény: 5814

 

Az  $ 1$  ,  $ 2$  ,  $\ldots$  ,  $ 24$  számok olyan négyelemű részhalmazait kell kiszámolni, amelyekben A) nincsenek szomszédos számok; B) Nincs egyszerre benne az  $ 1$  és a  $ 24$  . Az A)-nak megfelelő sorozatokból  $\binom{21}{4}$  van. Ezek között a B)-t nem teljesítő sorozatok középső három eleme a  $ 3$  ,  $ 4$  , \ldots ,  $ 22$  halmaz olyan két elemből álló részhalmazát adja, amelyben nincsenek szomszédos elemek. Ezek száma  $\binom{19}{2}$  . Az eredmény:  $\binom{21}{4}-\binom{19}{2}=5814$  .

 

 

 

2. Megoldás

Válasszunk ki a négy csúcs közül egyet tetszőlegesen. A maradék 3 csúcs 21 helyen lehet, de nem lehet két ciklikusan szomszédos, tehát  $\binom{21-3+1}{3}$  -féleképp tehetők le. De így mindent 4-szer számolunk, tehát az eredmény  $\frac 14\cdot 24 \cdot \binom{19}3 = 5814.$