Kavics Kupa 2013 14.feladat
(Feladat azonosítója: kk_2013_14f )
Témakör: *Geometria (algebra, hossz)

Mézga Aladár egyik űrutazásán laposföldjén járt. Itt látta, ahogy egy honpolgár egy egyenlő szárú derékszögű háromszög alakú bútort tolt át egy derékszögű sarkon az alábbi ábra szerint. Mekkora utat járt be eközben a derékszögű csúcs, ha az átfogó hossza 2 méter? Adjuk meg a megtett utat (tehát nem az elmozdulást és nem is a pályagörbe hosszát) centiméterben!

 

 



 

Végeredmény: 117

 

Forgassunk egy egész négyzetet át a sarkon az ábra szerint. Ha az eredeti egyenlő szárú derékszögű háromszög átfogón levő csúcsai  $(0,a)$  és  $(b,0)$  , akkor a négyzet további csúcsai  $(a+b,b)$  és  $(a,a+b)$  , így a négyzet középpontja  $\left(\frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2}\right)$  . A négyzet oldala, azaz a  $\sqrt{a^2+b^2}=c$  mennyiség rögzített, értéke most  $ 2$  m, míg  $b$  értéke befutja a  $[0;2]$  intervallumot. Miközben  $b$  értéke  $ 0$  -tól  $ 1$  -ig nő, a négyzet középpontja a  $P_0(1;1)$  ponttól a  $P_1(\sqrt{2};\sqrt{2})$  pontig mozog  $P_0$  -tól mindig  $P_1$  felé a  $P_0P_1$  szakaszon, tehát megtett útja méterben  $\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)$  . Amikor  $b$  értéke  $ 1$  és  $ 2$  között változik, a négyzet középpontja visszamegy a  $P_1P_0$  szakaszon  $P_1$  -től  $P_0$  -ba. A teljes megtett út méterben  $ 2\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)=4-2\sqrt{2}$  , ami centiméterben kb. 117.