Legyen  $a=1+\sqrt{5}$  . Mennyi

Végeredmény: 4

 Az  $a$  minimálpolinomja  $a^2-2a-4$  , ahonnan az  $a$  hatványai:   $a^2=2a+4,\ a^3=8a+8,\ a^4=8(3a+4).$  Innen$ \root 3\of{a}\cdot \root 6 \of {3a+4}=\root 6 \of {a^6/8}=\sqrt{a^2/2}=\sqrt{a+2}. $ Így  $S = (4-a)(\sqrt{a+2})^2=(4-a)(a+2)=4.$ 

1. Megjegyzés Ez azért csak utólag ilyen egyszerű, jól el is lehet bonyolítani. Hatodik hatványra emelni például csak elvileg egyszerű, a kapott 12-edfokú polinomot még ki kell értékelni az  $a$  helyen.

2. Megjegyzés Gyorsabb a számolás ha  $t=a/2$  -vel dolgozunk. Ekkor ugyanis  $t^2=t+1.$ 

3. Megjegyzés Haladó algebra nélkül is sejthető, hogy ha az eredmény szép lesz, akkor a köbgyököt tartalmazó tagok együtt ki kell ejtsék a köbgyököt. Tehát szeretnénk, ha  $a^2(3a+4)$  teljes köb lenne. A  $\mathbb Q\left[ \sqrt 5\right]$  számtestben adott egy (multiplikatív) norma:  $|| a + b\sqrt 5 || = a^2 - 5b^2$  . Ezt kiszámolva  $||a^2(3a+4)|| = 64$  , tehát ha ez teljes köb ebben a testben, akkor a köbgyök normája biztosan  $ 4$  . Ráadásul algebrai egész köbgyöke algebrai egész, tehát ha a számtestben van, akkor  $a + b\cdot \frac{1 +\sqrt 5}2$  alakú, ahol  $a$  és  $b$  egész. Így már nem lehetetlen megtalálni a köbgyököt.

4. Megjegyzés Egy másik lehetőség abból kiindulni, hogy a feladat helyes (vagyis az eredmény egész szám), és ügyes becslésekkel belátni, hogy  $ 3$  és  $ 5$  közé esik. Még ravaszabb elképzelés az, hogy  $(4-a) \cdot x$  egész szám, ami akkor lehet, ha  $x = \frac k4 \cdot (2+a)$  , ahol  $k$  egész. Tehát eleve tudjuk, hogy a két utolsó tényezőből  $\sqrt{2+a}$  racionálisszorosát akarjuk végül kapni, ami megkönnyíti a számolást.