Legfeljebb hány eleme lehet egy egész számokból álló $M$ halmaznak, ha $M$ egyik eleme sem osztható 7-tel, de bármely 4 eleme közt van néhány, melyeknek összege osztható 7-tel?
 
Végeredmény: 8
Kézzel ellenőrizhető, hogy ha az $\{1,2,3,4,5,6\}$ redukált maradékrendszerben két ellentett elemet, mondjuk az $ 1$ -et és a $ 6$ -ot megduplázzuk: $\{1,1,2,3,4,5,6,6\}$ , akkor jó $ 8$ elemű listát kapunk. (Itt és a továbbiakban ,,jó'' azt jelenti, hogy bármely négy elem között vannak olyanok, amelyek összege osztható $ 7$ -tel.)
Tegyük fel ezek után, hogy létezik nem nulla maradékoknak egy $ 9$ elemű jó listája. Ebben minden maradék legfeljebb $ 3$ -szor fordul elő. ( $ix\equiv 0 \ (mod \ 7)$ és $i\leq 4 \rightarrow x\equiv 0 \ (mod\ 7)$ .)
Ha van olyan $x$ maradék, amelyik pontosan háromszor fordul elő, akkor a lista minden további $y$ maradékára az $x+y, 2x+y, 3x+y$ összegek között van $ 7$ -tel osztható. A lista további maradékai (hat darab) tehát legfeljebb háromfélék lehetnek. Az $x$ -en kívül tehát legalább két további maradék fordul elő egynél többször.
Lényegében ugyanez a helyzet, ha egyetlen maradék sem fordul elő kettőnél többször: ekkor is van három olyan maradék, $x,y$ és $z$ , amelyek legalább kétszer fordulnak elő a listában. Eddig volt a tilitoli, jön a végjáték: ehhez kell a lista $\{x,x,y,y,z,z\}$ része.
Nézzünk két párt: $\{x,x,y,y\}$ . Ebben a négyesben három összegnek van esélye, hogy osztható legyen $ 7$ -tel: $x+y, 2x+y$ és $x+2y$ . Ezek szorzata tehát osztható $ 7$ -tel! A misztikus szorzat pedig:
Ebben az $\{x,x,y,y\}$ négyesben tehát $ 7\mid x^3+y^3$ . A másik kettőben ugyanígy $ 7\mid y^3+z^3$ és $ 7\mid z^3+x^3$ , vagyis mindhárom maradék $ 0$ . Hát ez ellentmondás.