Az  $ABC$  háromszögben  $A_1$  és  $B_1$  a  $BC$  illetve  $AC$  oldalak belső pontjai.  $AA_1$  és  $BB_1$  metszéspontja  $M$  . Az  $AMB_1$  ,  $AMB$  és  $BMA_1$  háromszögek területe rendre 3, 7 és 7 egység. Mennyi a  $CB_1MA_1$  négyszög területe?

Végeredmény: 18

Jelölje a  $CB_1M$  ,  $CMA_1$  háromszögek területét  $x$  illetve  $y$  . A  $CB_1M$  ,  $B_1AM$  háromszögek  $M$  -hez tartozó magassága azonos, csakúgy, mint a  $CB_1B$  ,  $B_1AB$  háromszögek  $B$  -hez tartozó magassága. Így a két háromszög területének aránya mindkét esetben a  $CB_1$  ,  $B_1A$  oldalak arányával egyezik meg, tehát egymással is egyenlő:

Ehhez hasonlóan írható vizsgálható a  $CA_1M$  ,  $A_1BM$  illetve a  $CA_1A$  ,  $A_1AB$  háromszögek területének aránya:

Az egyenletrendszerből  $x=7,5$  ,  $y=10,5$  tehát a kérdezett terület:  $x+y=18$  .  

2. Megoldás

Fejezzük ki  $M(a, b, c)$  baricentrikus koordinátáit!  $\frac{B_1M}{B_1B} = \frac 3{3+7}$  , tehát  $b=\frac 3{10}$  , és  $\frac{A_1M}{A_1A} = \frac 7{7+7}$  , ezért  $a = \frac 7{14} = \frac 12$  . Tehát  $M$  koordinátái  $(1/2, 3/10, 1/5)$  , vagyis  $\frac{ABM}{ABC} = \frac 15$  . Tehát  $ABC$  területe  $ 5\cdot 7 = 35$  , amiből a négyszög területe  $ 35-(3+7+7) = 18$  .  

3. Megoldás

 A  $BM$  alaphoz tartozó  $BMA$  ,  $BMA_1$  háromszögek egyenlő területűek, így a  $BM_1$  alaphoz tartozó  $B_1MA$  ,  $B_MA_1$  háromszögek területe is egyenlő, mindkettőé  $ 3$  . Jelölje még  $T$  a  $A_1B_1C$  háromszög területét! Mivel

így  $\frac{T}{6}=\frac{T+10}{10}$  , amiből  $T=15$  és a kérdezett érték  $ 18$  .