Legyen  $P$  az  $ABC$  szabályos háromszög belső pontja.  $P$  merőleges vetülete a  $BC, CA$  és  $AB$  oldalakra rendre  $A_1, B_1$  és  $C_1$  . Tudjuk, hogy  $AC_1=4$  ,  $C_1B=8$  és  $BA_1=5$  . Mennyi  $CB_1\cdot B_1A$  ? 

Végeredmény: 27

 Mivel  $ABC$  szabályos,  $BC = CA = AB = 12$  . Azt is tudjuk, hogy  $AC_1 + BA_1 + CB_1 = 18 = \frac {3 \cdot 12}2$ . Ez igaz akkor, ha pl.  $P = O$  , a háromszög középpontja, és ha  $P$  más pont, akkor az összeg  $\overrightarrow{PO}\cdot (\overrightarrow{AB}^0 + \overrightarrow{BC}^0 + \overrightarrow{CA}^0) = \overrightarrow{PO}\cdot \overrightarrow{0} = 0$  -val változik, ahol  $\overrightarrow{v}^0 = \frac{\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow {v}|}$  . Tehát  $CB_1 = 9$  és  $B_1A = 3$  , melyek szorzata  $ 27$  .

2. Megoldás

Húzzunk az  $ABC$  háromszög oldalaival párhuzamosokat  $P$  -n át. Így  $P$  és az  $ABC$  háromszög oldalai között szabályos háromszögeket kapunk,  $P$  -től az  $A$  ,  $B$  ,  $C$  csúcsok felé pedig paralelogrammák jönnek létre. Jelölje e kis szabályos háromszögek oldalának hosszát rendre  $\alpha$  ,  $\beta$  és  $\gamma$  , tehát

Ezekből meghatározható  $\alpha$  ,  $\beta$  és  $\gamma$  értéke és adódnak  $CB_1=\alpha+\frac{1}{2}\beta$  ,  $B_1A=\gamma+\frac{1}{2}\beta$  értékei.